Физика — ЕГЭ

Условие: 1 моль гелия совершает цикл 1-2-3-4-1 на p-T диаграмме. Постройте в p-V координатах. Сравните |работу газа в процессе 2-3| и |работу внешних сил в процессе 4-1|.

Анализ процессов:

1-2: \(p\) растёт, \(T\) растёт — определяем тип: изохора (\(V = \text{const}\)).

2-3: \(p\) падает, \(T = \text{const}\) — изотерма. Значит \(V\) растёт (\(pV = \text{const}\)).

3-4: \(p\) падает, \(T\) падает — изохора (\(V = \text{const}\), но больший объём).

4-1: \(T = \text{const}\), \(p\) растёт — изотерма. Значит \(V\) уменьшается.

Сравнение работ: На изотерме \(A = \nu RT \ln(V_2/V_1)\). Т.к. \(T_2 > T_1\) и отношения объёмов одинаковы, \(|A_{2-3}| > |A_{4-1}|\).

Ответ: \(|A_{газа,\,2-3}| > |A_{внешн,\,4-1}|\).

Явление: движение заряда в магнитном поле

Закон: Сила Лоренца: \(\vec{F} = q[\vec{v} \times \vec{B}]\)

Цепочка: \(\vec{F} \perp \vec{v}\) всегда → работа силы \(A = F \cdot s \cdot \cos 90° = 0\) → кинетическая энергия не меняется → скорость по модулю постоянна.

Итог: Магнитное поле изменяет направление, но не модуль скорости.

Явление: МКТ, идеальный газ в закрытом сосуде

Закон: Основное уравнение МКТ: \(p = nkT\); закон Шарля: \(\dfrac{p}{T} = \text{const}\) при \(V = \text{const}\)

Цепочка: \(T\) растёт → средняя кинетическая энергия молекул растёт → удары о стенки сильнее и чаще → \(p\) растёт.

Проверка: Формально \(p = nkT\), \(n = \text{const}\) (сосуд закрыт), значит \(p \sim T\). Всё сходится.

Условие: Дубовый шар массой \(m = 454\) г лежит в яме с водой, погружён наполовину, давит на дно с силой \(F = 1{,}66\) Н. Найти плотность дуба.

Дано: \(m = 0{,}454\) кг, \(F = 1{,}66\) Н, \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\), шар погружён наполовину.

Рисунок: Шар на дне, силы: \(mg\) вниз, \(F_A\) вверх (Архимед), \(N\) вверх (реакция дна).

Законы:

Равновесие: \(mg = F_A + N\), где \(N = F = 1{,}66\) Н (3-й закон Ньютона).

Архимед: \(F_A = \rho_в g \cdot \dfrac{V}{2}\) (погружена половина).

Объём шара: \(V = \dfrac{m}{\rho_{дуб}}\).

Решение: \(mg = \rho_в g \cdot \dfrac{m}{2\rho_{дуб}} + F\)

\(mg - F = \dfrac{\rho_в g m}{2\rho_{дуб}}\)

\(\rho_{дуб} = \dfrac{\rho_в g m}{2(mg - F)} = \dfrac{1000 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}454}{2(0{,}454 \cdot 9{,}8 - 1{,}66)} \approx 790\) кг/м\(^3\).

Ответ: \(\rho_{дуб} \approx 790\) кг/м\(^3\).

Закон: Сохранение импульса (энергия НЕ сохраняется!)

\(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v\)

Ответ: \(v = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\)

Потери энергии: \(\Delta E = \dfrac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}\)

Разложение: \(v_{0x} = v_0 \cos\alpha\), \(v_{0y} = v_0 \sin\alpha\)

Время полёта: \(t = \dfrac{2v_0 \sin\alpha}{g}\)

Дальность: \(L = v_{0x} \cdot t = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\)

Макс. высота: \(H = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\)

Условие: В LC-контуре напряжение на конденсаторе \(U = 10\sin(10000t + \pi)\), максимальный ток \(I_{max} = 0{,}1\) А. Найти индуктивность \(L\).

Дано: \(U_0 = 10\) В, \(\omega = 10000\) рад/с, \(I_{max} = 0{,}1\) А.

Законы:

Связь \(\omega\) и параметров контура: \(\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\).

Закон сохранения энергии в контуре: \(\dfrac{CU_0^2}{2} = \dfrac{LI_{max}^2}{2}\).

Решение: Из сохранения энергии: \(C = \dfrac{LI_{max}^2}{U_0^2}\).

Подставляем в \(\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\): \(\omega = \dfrac{U_0}{LI_{max}}\).

\(L = \dfrac{U_0}{\omega \cdot I_{max}} = \dfrac{10}{10000 \cdot 0{,}1} = 0{,}01\) Гн \(= 10\) мГн.

Ответ: \(L = 10\) мГн.

Ключ: В установившемся режиме ток через конденсатор \(I_C = 0\).

Значит, ветвь с конденсатором — разрыв. Считаем цепь без неё.

Напряжение на конденсаторе = напряжение на том участке, к которому он подключён.

Формула: \(\varepsilon = Blv\) (проводник длиной \(l\) движется со скоростью \(v\) перпендикулярно \(\vec{B}\))

Ток: \(I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{Blv}{R + r}\)

Сила Ампера: \(F = BIl = \dfrac{B^2 l^2 v}{R + r}\) — тормозит проводник.

Условие: Бутылка объёмом \(V = 1\) л с гелием при атмосферном давлении. Пробка: площадь \(S = 2\) см\(^2\), масса \(m = 20\) г. При вертикальном положении бутылки горлышком вверх пробку выбивает при \(Q \geq 9\) Дж. Найти минимальную силу для горизонтального вытаскивания пробки.

Дано: \(V = 10^{-3}\) м\(^3\), \(S = 2 \cdot 10^{-4}\) м\(^2\), \(m = 0{,}02\) кг, \(Q = 9\) Дж, \(p_0 = 10^5\) Па.

Законы:

1. Изохорный нагрев (объём бутылки не меняется до вылета): \(\dfrac{p}{T} = \dfrac{p_0}{T_0}\).

2. Первый закон термодинамики: \(Q = \Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T\) (одноатомный газ, изохора).

3. Условие вылета пробки (вертикально): \((p - p_0)S = mg + F_{тр}\).

4. Горизонтально: \(F_{мин} = F_{тр}\) (нет \(mg\) вдоль оси).

Решение: Из (2): \(\Delta T = \dfrac{2Q}{3\nu R}\). Из (1) и уравнения состояния: \(\Delta p = p_0 \cdot \dfrac{\Delta T}{T_0} = \dfrac{2Q}{3V}\).

\(\Delta p = \dfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10^{-3}} = 6000\) Па.

Из (3): \(F_{тр} = \Delta p \cdot S - mg = 6000 \cdot 2 \cdot 10^{-4} - 0{,}02 \cdot 9{,}8 = 1{,}2 - 0{,}196 = 1{,}004 \approx 1\) Н.

Ответ: \(F_{мин} \approx 1\) Н.

Закон: Сохранение энергии: \(Q_{отд} + Q_{пол} = 0\)

\(\nu_1 c_v (T - T_1) + \nu_2 c_v (T - T_2) = 0\)

Ответ: \(T = \dfrac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2}\)

Определение: \(\eta = \dfrac{A}{Q_н} = \dfrac{Q_н - |Q_х|}{Q_н} = 1 - \dfrac{|Q_х|}{Q_н}\)

Цикл Карно (максимальный КПД): \(\eta_{Карно} = 1 - \dfrac{T_х}{T_н}\)

Пример: \(T_н = 500\) К, \(T_х = 300\) К → \(\eta = 1 - \dfrac{300}{500} = 0.4 = 40\%\)

Условие: Квадрат со стороной \(a = 20\) см расположен в плоскости оптической оси собирающей линзы (\(D = 2\) дптр). Центр квадрата на оси. Дальняя сторона на расстоянии \(d_1 = 90\) см от линзы. Найти площадь изображения.

Дано: \(a = 0{,}2\) м, \(D = 2\) дптр \(\Rightarrow F = 1/D = 0{,}5\) м \(= 50\) см, \(d_1 = 90\) см.

Рисунок: Линза, квадрат боком (две стороны перпендикулярны оси). Дальняя сторона на \(d_1 = 90\) см, ближняя на \(d_2 = 90 - 20 = 70\) см.

Формула линзы для дальней стороны:

\(\dfrac{1}{f_1} = \dfrac{1}{F} - \dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{50} - \dfrac{1}{90} = \dfrac{4}{450}\), \(f_1 = 112{,}5\) см.

Увеличение: \(\Gamma_1 = \dfrac{f_1}{d_1} = \dfrac{112{,}5}{90} = 1{,}25\). Высота изображения дальней стороны: \(a \cdot \Gamma_1 = 20 \cdot 1{,}25 = 25\) см.

Формула линзы для ближней стороны:

\(\dfrac{1}{f_2} = \dfrac{1}{50} - \dfrac{1}{70} = \dfrac{2}{350}\), \(f_2 = 175\) см.

Увеличение: \(\Gamma_2 = \dfrac{175}{70} = 2{,}5\). Высота: \(20 \cdot 2{,}5 = 50\) см.

Изображение — трапеция. Основания: 25 см и 50 см. Длина по оси: \(f_2 - f_1 = 175 - 112{,}5 = 62{,}5\) см.

\(S = \dfrac{(25 + 50)}{2} \cdot 62{,}5 = 2343{,}75 \approx 2344\) см\(^2\).

Ответ: \(S \approx 2344\) см\(^2\).

Уравнение Эйнштейна: \(h\nu = A_{вых} + E_{к.макс}\), где \(E_{к.макс} = eU_{зап}\)

Два опыта:

\(h\nu_1 = A + eU_1\)

\(h\nu_2 = A + eU_2\)

Вычитаем: \(h(\nu_1 - \nu_2) = e(U_1 - U_2)\) → находим \(h\) или \(A\).

Сила Лоренца = центростремительная: \(qvB = \dfrac{mv^2}{R}\)

Радиус: \(R = \dfrac{mv}{qB}\)

Период: \(T = \dfrac{2\pi m}{qB}\) (не зависит от скорости!)

Частица движется по окружности. Если есть компонента \(v_\parallel\) — по спирали.

Условие: Снаряд разорвался на 2 равных осколка. Один летит вперёд со скоростью \(v_1 = 900\) м/с, другой назад со скоростью \(v_2 = 100\) м/с. Кинетическая энергия увеличилась на \(\Delta E_к = 0{,}5\) МДж. Найти массу снаряда. Обоснуйте применимость законов.

Обоснование (K1): Рассмотрим движение в ИСО Земли. Осколки — материальные точки. Взрыв — мгновенный процесс, внешние силы (тяжести) за время взрыва импульс не меняют. Применим закон сохранения импульса.

Дано: \(m_1 = m_2 = m/2\), \(v_1 = 900\) м/с (вперёд), \(v_2 = 100\) м/с (назад), \(\Delta E_к = 5 \cdot 10^5\) Дж.

Закон сохранения импульса:

\(mv_0 = \dfrac{m}{2}v_1 - \dfrac{m}{2}v_2\), откуда \(v_0 = \dfrac{v_1 - v_2}{2} = \dfrac{900 - 100}{2} = 400\) м/с.

Изменение кинетической энергии:

\(\Delta E_к = \dfrac{m}{2} \cdot \dfrac{v_1^2}{2} + \dfrac{m}{2} \cdot \dfrac{v_2^2}{2} - \dfrac{mv_0^2}{2}\)

\(\Delta E_к = \dfrac{m}{4}(v_1^2 + v_2^2) - \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{m}{4}(v_1^2 + v_2^2 - 2v_0^2)\)

\(m = \dfrac{4\Delta E_к}{v_1^2 + v_2^2 - 2v_0^2} = \dfrac{4 \cdot 5 \cdot 10^5}{810000 + 10000 - 320000} = \dfrac{2 \cdot 10^6}{500000} = 4\) кг.

Ответ: \(m = 4\) кг.

Законы:

1. ЭДС индукции: \(\varepsilon = Blv\)

2. Ток: \(I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{Blv}{R + r}\)

3. Сила Ампера (тормозящая): \(F_{A} = BIl = \dfrac{B^2 l^2 v}{R + r}\)

4. Второй закон Ньютона: \(ma = F_{тяги} - F_A\)

В установившемся режиме: \(a = 0\), \(F_{тяги} = F_A\) → \(v_{уст} = \dfrac{F_{тяги}(R+r)}{B^2 l^2}\)

Законы:

1. Уравнение состояния: \(pV = \nu RT\)

2. Адиабата: \(pV^\gamma = \text{const}\), \(TV^{\gamma-1} = \text{const}\)

3. Первый закон: \(Q = \Delta U + A\), на адиабате \(Q = 0\) → \(A = -\Delta U\)

Метод: Найти параметры в каждой точке цикла через уравнения процессов. Работа цикла = сумма работ на каждом участке. КПД = \(A_{цикла} / Q_{подведённого}\).