Часть 1 — 11 из 12. Это прочный фундамент, единственная потеря (№10) — невнимательность, а не незнание.
Часть 2 почти пустая: засчитаны только №14 и №19. Остальные пять заданий — 0 баллов, а это до 13 первичных, которые сейчас лежат нетронутыми.
В твоей зоне (17→23 первичных) каждый первичный балл = +2 тестовых. Закроешь три самых типовых — №13, №15, №16 (по 2 балла) — это +6 первичных = с ≈81 до ≈93 тестовых.
Пусть \(x\) — скорость второго (медленного). Тогда первый едет со скоростью \(x+9\).
\[ \frac{190}{x} - \frac{190}{x+9} = 9 \]
После приведения: \(x^2 + 9x - 190 = 0 \Rightarrow x = 10\) (корень \(-19\) отбрасываем).
Но \(x = 10\) — это скорость второго. Спрашивают первого: \(10 + 9 = 19\).
Проверка: \(190/19 = 10\) ч, \(190/10 = 19\) ч, разница \(= 9\) ч. ✓
Остановился на вспомогательной переменной \(x = 10\) и записал её в ответ, не сделав последний шаг — не ответил на поставленный вопрос («скорость первого»).
Перед тем как записать ответ, вернись к вопросу и подчеркни, что именно требуется найти. Самая дорогая ошибка части 1 — решить задачу правильно и ответить не на тот вопрос. Заведи привычку: «нашёл \(x\) — а \(x\) это что? То ли это, о чём спросили?»
а) Решите уравнение \(2\cos x - \sqrt{3}\,\sin^2 x = 2\cos^3 x\).
б) Укажите корни на отрезке \(\left[-\tfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]\).
Переносим всё влево и группируем (делить на \(\sin^2 x\) или \(\cos x\) нельзя — потеряешь корни):
\[ 2\cos x - 2\cos^3 x = \sqrt{3}\,\sin^2 x \]
\[ 2\cos x\,(1 - \cos^2 x) = \sqrt{3}\,\sin^2 x \]
Подставляем \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\):
\[ \sin^2 x\,(2\cos x - \sqrt{3}) = 0 \]
Значит \(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n\), либо \(\cos x = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k\).
Серия \(\pi n\): \(n = -3\) и \(n = -2\) \(\Rightarrow x = -3\pi\) и \(x = -2\pi\) (правый конец входит).
Серия \(+\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\): в отрезок не попадает ни один корень.
Серия \(-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\): при \(k=-1\) получаем \(x = -\tfrac{13\pi}{6}\) — попадает.
Ответ б): \(-3\pi;\ -\tfrac{13\pi}{6};\ -2\pi\).
В тригонометрии никогда не дели обе части на выражение с переменной — переноси всё в одну сторону и выноси общий множитель. Для отбора корней удобно перевести границы в десятичные: \([-10{,}99;\,-6{,}28]\) и просто перебрать целые \(n, k\).
\[ \log_{11}(2x^2+1) + \log_{11}\!\left(\tfrac{1}{32x}+1\right) \geq \log_{11}\!\left(\tfrac{x}{16}+1\right) \]
\(2x^2+1>0\) (всегда); \(\tfrac{1}{32x}+1>0 \Rightarrow x<-\tfrac{1}{32}\) или \(x>0\); \(\tfrac{x}{16}+1>0 \Rightarrow x>-16\).
ОДЗ: \(x \in (-16;\,-\tfrac{1}{32}) \cup (0;\,+\infty)\).
\[ (2x^2+1)\left(\tfrac{1}{32x}+1\right) \geq \tfrac{x}{16}+1 \]
Переносим влево, общий знаменатель \(32x\):
\[ \frac{64x^3 + 1}{32x} \geq 0 \]
Раскладываем сумму кубов: \(64x^3+1 = (4x+1)(16x^2-4x+1)\). Второй множитель \(>0\) всегда (\(D<0\)), поэтому неравенство равносильно \(\dfrac{4x+1}{x} \geq 0\).
Метод интервалов: \(x \leq -\tfrac{1}{4}\) или \(x>0\).
\[ x \in \left(-16;\ -\tfrac{1}{4}\right] \cup (0;\ +\infty) \]
Алгоритм всегда один: ОДЗ → свёртка логарифмов → перенос в одну сторону → разложение на множители → метод интервалов → пересечение с ОДЗ. Сумма кубов \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) — держи в активной памяти.
Выпуски заводов \(a=\sqrt{H_1},\ b=\sqrt{H_2}\), тогда \(H_1=a^2,\ H_2=b^2\). Бюджет:
\[ 200a^2 + 300b^2 = 1\,200\,000 \ \Rightarrow\ 2a^2 + 3b^2 = 12\,000 \]
Максимизируем \(Q = a + b\).
Из связи \(a^2 = 6000 - 1{,}5b^2\), значит \(Q(b)=\sqrt{6000-1{,}5b^2}+b\).
\[ Q'(b) = -\frac{3b}{2\sqrt{6000-1{,}5b^2}} + 1 = 0 \]
\(\Rightarrow 9b^2 = 4(6000-1{,}5b^2) \Rightarrow 15b^2 = 24000 \Rightarrow b = 40\), тогда \(a=\sqrt{3600}=60\).
Ответ: \(Q = 60 + 40 = 100\) единиц.
Почему два завода, а не один? Выпуск \(=\sqrt{\text{часы}}\) растёт «с замедлением», поэтому всё в один завод невыгодно — оптимум на распределении. Схема: часы → выпуск через корень → замена переменных → одна переменная → производная = 0. Сравни с краями: всё в 1-й — \(\sqrt{6000}\approx77{,}5\); «60 и 40» даёт 100 — больше.
Точки \(B, C, B_1, C_1\) лежат на окружности с диаметром \(BC\) (т.к. \(\angle BB_1C=\angle BC_1C=90^\circ\)). Вписанные углы на дугу \(BC_1\): \(\angle BB_1C_1 = \angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B\).
С другой стороны \(AH\) лежит на высоте \(AA_1\perp BC\), поэтому в \(\triangle ABA_1\): \(\angle BAH = 90^\circ - \angle B\). Значит \(\angle BB_1C_1 = \angle BAH\). ∎
Факт 1: ортотреугольник подобен \(\triangle ABC\) с коэффициентом \(\cos A\), поэтому \(B_1C_1 = BC\cos A\).
Факт 2: расстояние от центра \(O\) до хорды \(BC\) равно \(R\cos A\).
\(B_1C_1 = BC\cos A = 2R\sin A\cos A = R\sin 2A\). Подставляем: \(18 = R\sin 60^\circ = R\tfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow R = 12\sqrt3\).
Расстояние \(= R\cos A = 12\sqrt3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 18\).
Ответ: а) доказано; б) \(18\).
Пункт а) — чистая теория (вписанный четырёхугольник + вписанные углы), его реально написать на 1 балл, даже не трогая б). Ключевые факты: основания высот лежат на окружности с диаметром стороны; ортотреугольник подобен с \(\cos A\); расстояние от центра до хорды \(= R\cos A\).
\(\sqrt P=\sqrt Q \Leftrightarrow \{P=Q,\ P\geq 0\}\). Возводим в квадрат:
\[ 3x^2-(4a+2)x+(a^2+2a)=0,\quad D=4(a-1)^2 \]
Корни: \(x_1 = a,\quad x_2 = \dfrac{a+2}{3}\).
Условие \(P=x^2-a^2\geq 0\): для \(x_1=a\) выполнено всегда; для \(x_2\) — только при \(a\in[-\tfrac12;1]\).
Перебор числа различных корней в \([0;1]\):
• \(a\in[-\tfrac12;0)\): \(x_1=a<0\) (вне), \(x_2\in[0;1]\) → ровно 1 ✓
• \(a\in[0;1)\): оба корня в \([0;1]\) и различны → 2
• \(a=1\): корни слились в \(x=1\) → ровно 1 ✓
• иначе → 0
Ответ: \(a \in \left[-\tfrac12;\,0\right) \cup \{1\}\).
В уравнениях с корнем обязательно добавляй условие подкоренного \(\geq 0\) — иначе ловишь посторонние корни. И всегда честно разбирай все случаи по \(a\): краевые точки, слияние корней, попадание в отрезок. «Один красивый ответ \(a=1\)» — типичная ловушка, теряющая 3 балла из 4.
Кратность 45 = 5 и 9. На 5: одно число оканчивается на 0, другое — на 5. На 9: суммы цифр обоих кратны 9 (вся сумма \(=27\)).
а) Да. Пример: \(1935 + 270 = 2205\).
б) Нет. Сумма двух кратных 45 кратна 45, а \(3435\) на 45 не делится.
в) \(10035\). Например \(9720+315\) или \(9315+720\).
Пункт «в» в задании 19 — это всегда оценка + пример: сначала доказываешь верхнюю границу, потом приводишь набор, на котором она достигается. Один пример без «больше нельзя» — неполный ответ.
а) \(MD=MB_1\) (стороны ромба); прямоугольные \(\triangle MAD\) и \(\triangle MA_1B_1\) равны по гипотенузе и катету \(\Rightarrow MA=MA_1\).
б) \(a=\sqrt3,\ BD=\sqrt6,\ MK=AC=\sqrt6\); диагонали ромба \(MK\) и \(B_1D\): \(\tfrac12 MK\cdot B_1D = 6 \Rightarrow B_1D=\sqrt{24}\). Высота \(h=\sqrt{B_1D^2-BD^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\).
Это объективно сложное задание (3 балла), и ты взял его полностью — значит стереометрию ты умеешь. Тот же приём (равенство прямоугольных треугольников + диагонали ромба) работает в большом классе задач 14. Запомни схему, чтобы воспроизвести её на экзамене.