Дано: цилиндр и конус с общим основанием и высотой. \(H = R\). \(S_{\text{бок. цил}} = 29\sqrt{2}\).
Шаг 1. \(S_{\text{цил}} = 2\pi R \cdot H = 2\pi R^2 = 29\sqrt{2}\)
Шаг 2. Образующая конуса: \(l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}\)
Шаг 3. \(S_{\text{кон}} = \pi R l = \pi R \cdot R\sqrt{2} = \pi R^2 \sqrt{2}\)
Шаг 4. Заметь: \(\pi R^2 \sqrt{2} = \frac{2\pi R^2}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{29\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot... \) Проще: \(\pi R^2 \sqrt{2} = \frac{S_{\text{цил}}}{2} = \frac{29\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot... \)
На самом деле: \(S_{\text{кон}} = \pi R^2 \sqrt{2}\), а \(2\pi R^2 = 29\sqrt{2}\), значит \(\pi R^2 = \frac{29\sqrt{2}}{2}\).
\(S_{\text{кон}} = \frac{29\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{29 \cdot 2}{2} = 29\)
Ответ: 29
Не нужно считать \(R\)! Вырази \(S_{\text{кон}}\) через \(S_{\text{цил}}\):
\(S_{\text{кон}} = \pi R l = \pi R \cdot R\sqrt{2}\), а \(S_{\text{цил}} = 2\pi R^2\).
Значит \(S_{\text{кон}} = \frac{S_{\text{цил}}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{29\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 29\).
Ключ: \(F(5) - F(0) = \int_0^5 f(x)\,dx\) = площадь под графиком \(f(x)\) на отрезке \([0, 5]\).
Шаг 1. На \([0, 4]\): \(f(x) = 3\) (горизонтальная линия). Площадь = \(3 \times 4 = 12\).
Шаг 2. На \([4, 5]\): \(f(x)\) падает от 3 до 0 (прямая линия). Площадь треугольника = \(\frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5\).
Подожди — по условию ответ 22.5, значит фигура сложнее. Перечитаем: «прямоугольная трапеция с высотой 5 и основаниями 4 и 5».
Фигура: прямоугольник \([0,4] \times [0,3]\) (площадь 12) + треугольник \([4,5]\) с высотой 3 (площадь 1.5). Но 12 + 1.5 = 13.5, не 22.5.
Значит масштаб шкалы другой — на графике «1» по y = не 1, а больше. По решению: трапеция с основаниями 4 и 5, высотой 5. \(S = \frac{(4+5)}{2} \times 5 = 22.5\).
Ответ: 22.5
\(F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx\) = площадь фигуры под графиком.
Внимательно читай шкалу! Одна клетка может быть ≠ 1. Считай по КЛЕТКАМ и определи масштаб.
Фигуры: прямоугольник \(S = a \times b\), треугольник \(S = \frac{1}{2}ab\), трапеция \(S = \frac{(a+b)}{2}h\).
Шаг 1. Найти k прямой: по графику отсчитываем: на 2 клетки вправо — 4 клетки вверх. \(k = \frac{4}{2} = 2\). Значит \(g(x) = 2x\).
Шаг 2. Найти параболу: корни \(x = -2\) и \(x = 3\) (пересечения с осью x). Значит \(f(x) = a(x+2)(x-3)\).
Шаг 3. Найти a: точка \(A(-1, -2)\) лежит на обоих графиках. Подставим в параболу: \(-2 = a(-1+2)(-1-3) = a \cdot 1 \cdot (-4) = -4a\). Значит \(a = 0.5\).
Шаг 4. Приравнять: \(0.5(x+2)(x-3) = 2x\)
\(0.5(x^2 - x - 6) = 2x\)
\(x^2 - x - 6 = 4x\)
\(x^2 - 5x - 6 = 0\)
\((x-6)(x+1) = 0\)
\(x = 6\) или \(x = -1\). Так как \(x = -1\) — это точка A, абсцисса B = 6.
1. Найди \(k\) прямой по двум точкам на графике.
2. Парабола через корни: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
3. Найди \(a\) через известную точку.
4. Приравняй \(f(x) = g(x)\) и реши уравнение.
Пункт а) \(KG \parallel K_1G_1\), значит плоскость \(\alpha \parallel KG\). Плоскость \(\alpha\) пересекает основание по \(LP\), которая \(\parallel KG \parallel MN\). Сечение PABL — трапеция. Из равенства треугольников \(BML = ANP\) (по двум катетам) следует \(AP = LB\) — трапеция равнобедренная.
Пункт б) Через метод объёмов: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{сечения}} \cdot h = 288\).
Пункт а) — доказательство. Ищи параллельные прямые → параллельные плоскости → признаки.
Пункт б) — координатный метод! Введи систему координат в вершине основания. Найди координаты всех точек, уравнение плоскости, расстояние до точки.
Даже если не можешь доказать а), решай б) координатным методом — получишь 2 из 3 баллов!
Замена \(t = 6^x\), \(t > 0\). После упрощения: \(\frac{t^2 + 2t + 9}{t - 36} \leq 0\).
Числитель: \(D = 4 - 36 = -32 < 0\) → корней нет, числитель всегда положителен.
Твоя ошибка: ты решил, что раз у числителя нет корней — значит у ВСЕГО неравенства нет решений. Но это НЕВЕРНО!
Числитель > 0 всегда. Знак ДРОБИ определяется знаменателем: \(t - 36 < 0 \Rightarrow t < 36 \Rightarrow 6^x < 36 \Rightarrow x < 2\).
«Нет корней у числителя» ≠ «нет решений у неравенства»!
Если числитель ВСЕГДА положителен, то знак дроби = знак знаменателя.
\(\frac{(+)}{(?)} \leq 0 \Rightarrow (?) < 0\) — решай только знаменатель!
Алгоритм: 1) Упрости дробь. 2) Проверь числитель: D < 0 → знак постоянный. 3) Определи этот знак (подставь t=0). 4) Знак дроби = знак числителя × знак знаменателя.
Факт 1: Если угол \(\angle LKF = 90°\) и L, F на окружности → FL — диаметр (вписанный угол, опирающийся на полуокружность = 90°). \(FL = 2 \times 4 = 8\).
Факт 2: Аналогично \(\angle NKM = 90°\) → MN — диаметр большей. \(MN = 16\).
Факт 3: Угол между касательной и хордой = половина дуги → \(\angle FLK = \angle MNK\) → \(FL \parallel MN\).
Факт 4: \(\triangle FLK \sim \triangle MNK\) с коэффициентом \(k = \frac{FL}{MN} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\).
Шаг 5: Пусть \(KL = x\). Из подобия \(KM = 2x\). Из условия \(KL = KM\) (прямоугольный равнобедренный) — нет, условие говорит \(\angle LKM = 90°\), и из подобия \(KN = 2KL = 2x\), \(KM = x\). По Пифагору в \(\triangle MNK\): \(x^2 + (2x)^2 = 16^2\), \(5x^2 = 256\), \(x = \frac{16}{\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}}{5}\).
Вписанный угол 90° → хорда = диаметр.
Угол между касательной и хордой = половина дуги.
Подобие: если углы равны → треугольники подобны → пропорция сторон.
Внутреннее касание: общая касательная в точке касания.
Обозначения: \(x\) — кол-во помидоров > 100г, \(y\) — ровно 100г, \(z\) — < 100г.
\(x + y + z = 76\), \(122x + 100y + 88z = 7600\).
Упрощение: \(122x + 88z = 7600 - 100y = 100(76-y) - 100y + 100y = 7600 - 100y\)... Проще: \(22x - 12z = 0 \Rightarrow 11x = 6z\).
а) Если \(x = z\): \(11x = 6x \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0\). Все по 100г — противоречие. Нет.
б) \(z = 11n, x = 6n, x+z = 17n \leq 76 \Rightarrow n \leq 4\). \(y = 76 - 17n \geq 76 - 68 = 8\). Значит \(y \geq 8\). Нет, менее 7 невозможно.
в) Максимальная масса: \(s \leq 122x - 101(x-1) = 21x + 101\). При \(n = 4\): \(x = 24\), \(s \leq 21 \times 24 + 101 = 605\). Пример: 44 по 88г, 8 по 100г, 23 по 101г, 1 по 605г. Ответ: 605.
Шаг 1: Введи переменные, составь систему.
Шаг 2: Пункт а) — подставь условие, получи противоречие.
Шаг 3: Пункт б) — найди ограничение на переменную (через делимость!).
Шаг 4: Пункт в) — оценка + пример. Сначала докажи верхнюю границу, потом покажи что она достижима.
Даже только пункт а) = 1 балл!