О разделе

Что здесь собрано

Этот сайт собирает ВСЕ формулы механики движения для ЕГЭ по физике: движение по окружности, баллистика, свободное падение, гидростатика (Архимед, давление, Паскаль), гравитация и орбитальная механика.

Темы проверяются в заданиях 1--5, 7, 22, 25, 26 ЕГЭ. Это один из центральных разделов: формулы переплетаются между собой, и ошибки в единицах/углах/радиусах -- самые частые.

Проверяемые темы

Движение по окружности: угловая и линейная скорость, центростремительное ускорение
Первая и вторая космическая скорость
Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистика)
Свободное падение, бросок вверх
Сила Архимеда, условие плавания тел
Давление в жидкости, закон Паскаля, гидравлический пресс
Спутники, орбиты, третий закон Кеплера
Закон всемирного тяготения, зависимость \(g\) от высоты

Ключевые формулы раздела

Главное, что нужно знать для ЕГЭ

1

Движение по окружности

\(a_{\text{цс}} = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R\)

↓

2

Баллистика

\(L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}, \quad H = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\)

↓

3

Сила Архимеда

\(F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}\)

↓

4

Закон тяготения

\(F = \dfrac{GMm}{r^2}, \quad g = \dfrac{GM}{R^2}\)

↓

5

Орбитальная скорость

\(v_{\text{орб}} = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{gR}\) (у поверхности)

Движение по окружности

Основные формулы

При равномерном движении по окружности тело движется с постоянной по модулю скоростью, но направление скорости непрерывно меняется. Возникает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности.

\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu\] \[v = \omega R\] \[a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\] \[T = \frac{2\pi R}{v}\]

Где:

\(\omega\) -- угловая скорость (рад/с)
\(T\) -- период обращения (с)
\(\nu\) -- частота обращения (Гц)
\(R\) -- радиус окружности (м)
\(a_{\text{цс}}\) -- центростремительное ускорение (м/с\(^2\))

Проще: тело на верёвке крутится -- его тянет к центру. Чем быстрее крутишь -- тем сильнее тянет (\(a \sim v^2\)). Скорость направлена по касательной, ускорение -- к центру. Это как на карусели: чем быстрее вращение, тем сильнее вас прижимает.

Центростремительная сила

По второму закону Ньютона:

\[F_{\text{цс}} = m a_{\text{цс}} = \frac{mv^2}{R} = m\omega^2 R\]

Центростремительная сила -- не отдельная сила, а равнодействующая всех сил, направленных к центру окружности. Роль центростремительной силы может играть:

Сила натяжения нити (тело на верёвке)
Сила тяжести (спутник на орбите)
Сила трения (машина на повороте)
Реакция опоры (на горке)

Связь угловых и линейных величин

Величина	Формула	Единица
Линейная скорость	\(v = \omega R\)	м/с
Угловая скорость	\(\omega = 2\pi/T\)	рад/с
Период	\(T = 2\pi R/v\)	с
Частота	\(\nu = 1/T\)	Гц
Центростр. ускорение	\(a_{\text{цс}} = v^2/R\)	м/с\(^2\)

Мини-задача

Тело движется по окружности радиусом \(R = 0{,}5\) м со скоростью \(v = \pi\) м/с. Найдите центростремительное ускорение \(a_{\text{цс}}\) (в м/с\(^2\)). Ответ округлите до десятых.

Показать решение

\(a_{\text{цс}} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{\pi^2}{0{,}5} = \dfrac{9{,}87}{0{,}5} \approx 19{,}7\) м/с\(^2\).

Первая космическая скорость

Вывод формулы

Первая космическая скорость -- минимальная скорость, при которой тело становится спутником планеты (движется по круговой орбите у поверхности).

Условие: сила тяжести = центростремительная сила:

\[mg = \frac{mv_1^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{gR}\]

Для Земли: \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), \(R = 6{,}4 \cdot 10^6\) м:

\[v_1 = \sqrt{9{,}8 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6} \approx 7{,}9 \text{ км/с}\]

Проще: это скорость, при которой тело «падает» на Землю, но Земля «убегает» из-под него по кривизне. Спутник всё время падает, но никогда не упадёт. Представьте, что вы бросаете камень горизонтально всё сильнее и сильнее -- рано или поздно кривизна траектории совпадёт с кривизной Земли.

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость -- минимальная скорость, при которой тело покидает гравитационное поле планеты:

\[v_2 = \sqrt{2gR} = v_1\sqrt{2} \approx 11{,}2 \text{ км/с}\]

Связь: \(v_2 = v_1\sqrt{2}\). Это следует из закона сохранения энергии: \(\dfrac{mv_2^2}{2} = \dfrac{GMm}{R}\).

Сравнение космических скоростей

Скорость	Формула	Для Земли	Что происходит
\(v_1\)	\(\sqrt{gR}\)	7,9 км/с	Круговая орбита у поверхности
\(v_2\)	\(\sqrt{2gR}\)	11,2 км/с	Уход от планеты
\(v_3\)	--	16,7 км/с	Уход из Солнечной системы

Мини-задача

Для планеты \(g = 10\) м/с\(^2\), \(R = 6400\) км. Найдите первую космическую скорость \(v_1\) (в км/с).

Показать решение

\(v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6} = \sqrt{6{,}4 \cdot 10^7} = 8000\) м/с \(= 8\) км/с.

Движение тела под углом к горизонту

Уравнения движения (баллистика)

Тело бросили под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\). Движение разделяется на два независимых:

\[\text{Горизонталь (ось } x \text{):}\] \[x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t, \qquad v_x = v_0 \cos\alpha = \text{const}\]

\[\text{Вертикаль (ось } y \text{):}\] \[y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}, \qquad v_y = v_0 \sin\alpha - gt\]

Проще: тело летит «вбок» с постоянной скоростью, а «вверх-вниз» как при свободном падении. Два движения одновременно и независимо. Горизонтальная составляющая не знает о вертикальной, и наоборот.

Ключевые формулы

\[\text{Дальность полёта: } L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\] \[\text{Максимальная высота: } H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\] \[\text{Время полёта: } t_{\text{пол}} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}\]

Важные следствия:

Максимальная дальность достигается при \(\alpha = 45°\)
При углах \(\alpha\) и \((90° - \alpha)\) дальность одинакова (например, 30° и 60°)
В верхней точке \(v_y = 0\), а \(v_x = v_0\cos\alpha \neq 0\)
Время подъёма = время спуска = \(t_{\text{пол}}/2\)

Скорость в любой момент

\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v_0\cos\alpha)^2 + (v_0\sin\alpha - gt)^2}\]

Угол наклона скорости к горизонту в момент \(t\):

\[\tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_0\sin\alpha - gt}{v_0\cos\alpha}\]

Мини-задача

Тело брошено под углом \(\alpha = 30°\) со скоростью \(v_0 = 20\) м/с. \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите дальность полёта \(L\) (в м). Ответ округлите до десятых.

Показать решение

\(L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \dfrac{400 \cdot \sin 60°}{10} = \dfrac{400 \cdot 0{,}866}{10} = 34{,}6\) м.

Визуализация баллистики

Меняйте угол и начальную скорость. Наблюдайте траекторию, разложение скорости, дальность и высоту.

Угол \(\alpha\): 45°

\(v_0\): 25 м/с

Траектория

\(v_x\)

\(v_y\)

Предыдущие

Нажмите «Запуск» для анимации

Свободное падение

Формулы свободного падения

Свободное падение -- движение тела только под действием силы тяжести (без сопротивления воздуха).

\[h = \frac{gt^2}{2}, \qquad v = gt, \qquad v^2 = 2gh\]

Проще: всё падает одинаково (если нет воздуха). Перо и молоток на Луне падают вместе. За каждую секунду скорость увеличивается на \(g \approx 10\) м/с.

Бросок вверх

Тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\):

\[v = v_0 - gt\] \[h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}\] \[H_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}\] \[t_{\text{подъёма}} = \frac{v_0}{g}\]

Время подъёма = время падения. Полное время в воздухе: \(t_{\text{пол}} = 2v_0/g\).

Полезные факты

При \(g = 10\) м/с\(^2\): за 1 с тело пролетает 5 м, за 2 с -- 20 м, за 3 с -- 45 м
Скорость при падении с высоты \(h\): \(v = \sqrt{2gh}\)
При броске вверх на максимальной высоте \(v = 0\), но \(a = g\) (ускорение не исчезает!)
Траектория вертикальна -- это частный случай баллистики при \(\alpha = 90°\)

Мини-задача

Тело падает с высоты \(h = 45\) м. \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите время падения \(t\) (в с).

Показать решение

\(h = gt^2/2 \Rightarrow t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \cdot 45/10} = \sqrt{9} = 3\) с.

Сила Архимеда

Закон Архимеда

На тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости:

\[F_A = \rho_{\text{ж}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}}\]

Где:

\(\rho_{\text{ж}}\) -- плотность жидкости (кг/м\(^3\))
\(g\) -- ускорение свободного падения (м/с\(^2\))
\(V_{\text{погр}}\) -- объём погружённой части тела (м\(^3\))

Проще: жидкость «выталкивает» тело с силой, равной весу вытесненной жидкости. Чем больше объём под водой -- тем сильнее выталкивает. Форма тела не важна, важен только объём!

Важные замечания

Сила Архимеда зависит от плотности жидкости, а НЕ от плотности тела
Если тело полностью погружено, \(V_{\text{погр}} = V_{\text{тела}}\)
Сила Архимеда направлена вертикально вверх
Она не зависит от глубины погружения (для полностью погружённого тела)
Работает и в газах (воздушные шары, аэростаты)

Мини-задача

Куб со стороной \(a = 0{,}1\) м полностью погружён в воду (\(\rho = 1000\) кг/м\(^3\)). \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите силу Архимеда \(F_A\) (в Н).

Показать решение

\(V = a^3 = (0{,}1)^3 = 0{,}001\) м\(^3\). \(F_A = \rho g V = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}001 = 10\) Н.

Давление в жидкости

Гидростатическое давление

Давление в жидкости на глубине \(h\):

\[p = p_0 + \rho g h\]

Где \(p_0\) -- атмосферное давление на поверхности (\(\approx 10^5\) Па).

Давление как сила на площадь:

\[p = \frac{F}{S}\]

Проще: чем глубже -- тем больше давление. На каждые 10 м глубины в воде давление растёт примерно на 1 атмосферу (\(10^5\) Па). На глубине 100 м давление уже 11 атмосфер (10 от воды + 1 атмосферное).

Свойства давления в жидкости

Давление зависит только от глубины, не от формы сосуда
На одной глубине давление одинаково во всех точках
Давление действует во все стороны одинаково
В сообщающихся сосудах уровни однородной жидкости одинаковы

Мини-задача

Глубина \(h = 20\) м, \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите давление воды (без атмосферного) в Па.

Показать решение

\(p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 20 = 200\,000\) Па \(= 200\) кПа.

Закон Паскаля

Формулировка

Давление, производимое на жидкость (или газ) в замкнутом сосуде, передаётся без изменения в каждую точку жидкости.

Это основа работы гидравлического пресса:

\[\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \quad \Rightarrow \quad F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}\]

Где \(S_1\) -- площадь малого поршня, \(S_2\) -- площадь большого поршня.

Проще: давление передаётся одинаково во все стороны. Маленькой силой на маленький поршень создаёшь большую силу на большом поршне. Выигрыш в силе = проигрыш в перемещении (закон сохранения энергии).

Гидравлический пресс: закон сохранения энергии

Работа жидкости одинакова с обеих сторон:

\[F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2\]

Если \(S_2/S_1 = 20\), то сила увеличивается в 20 раз, но перемещение большого поршня в 20 раз меньше.

Мини-задача

Гидравлический пресс: \(S_1 = 10\) см\(^2\), \(S_2 = 200\) см\(^2\), \(F_1 = 50\) Н. Найдите \(F_2\) (в Н).

Показать решение

\(F_2 = F_1 \cdot \dfrac{S_2}{S_1} = 50 \cdot \dfrac{200}{10} = 1000\) Н.

Условие плавания тел

Три случая

Условие	Результат	Пример
\(\rho_{\text{тела}} < \rho_{\text{жидк}}\)	Тело всплывает	Дерево в воде
\(\rho_{\text{тела}} = \rho_{\text{жидк}}\)	Тело плавает внутри	Подводная лодка
\(\rho_{\text{тела}} > \rho_{\text{жидк}}\)	Тело тонет	Камень в воде

Формула плавания

При плавании на поверхности сила Архимеда равна силе тяжести:

\[F_A = mg\] \[\rho_{\text{ж}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{тела}} \cdot g \cdot V_{\text{тела}}\]

Отсюда доля погружённого объёма:

\[\frac{V_{\text{погр}}}{V_{\text{тела}}} = \frac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{жидк}}}\]

Проще: у айсберга плотность ~900 кг/м\(^3\), у воды ~1000 кг/м\(^3\). Погружено 900/1000 = 90% объёма. Поэтому мы видим только верхушку айсберга.

Мини-задача

Тело плотностью \(\rho = 800\) кг/м\(^3\) плавает в воде (\(\rho_{\text{воды}} = 1000\) кг/м\(^3\)). Какая доля объёма погружена (в %)?

Показать решение

\(\dfrac{V_{\text{погр}}}{V_{\text{тела}}} = \dfrac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{жидк}}} = \dfrac{800}{1000} = 0{,}8 = 80\%\).

Спутники и орбиты

Движение спутника по круговой орбите

На круговой орбите сила гравитации играет роль центростремительной силы:

\[\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\]

Отсюда орбитальная скорость:

\[v_{\text{орб}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}\]

Период обращения:

\[T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

Проще: спутник летит быстрее, чем ближе к планете. МКС на высоте ~400 км делает оборот за ~90 минут. Чем дальше от Земли -- тем медленнее и дольше оборот.

Третий закон Кеплера

Для всех спутников одной и той же планеты:

\[\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{const}\]

Это позволяет сравнивать орбиты без знания \(G\) и \(M\).

Геостационарная орбита

Спутник «висит» над одной точкой Земли. Условие: \(T = 24\) ч.

\[r_{\text{гео}} = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 42\,000 \text{ км}\]

Высота над поверхностью: \(h = r_{\text{гео}} - R \approx 36\,000\) км.

Мини-задача

\(R_{\text{Земли}} = 6400\) км, \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите период обращения спутника у поверхности Земли (в минутах). \(\pi \approx 3{,}14\).

Показать решение

\(T = \dfrac{2\pi R}{v_1} = \dfrac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi\sqrt{R/g}\).

\(T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{6{,}4 \cdot 10^6/10} = 6{,}28 \cdot \sqrt{6{,}4 \cdot 10^5} = 6{,}28 \cdot 800 = 5024\) с \(\approx 84\) мин.

Орбитальный симулятор

Меняйте радиус орбиты. Наблюдайте изменение скорости, периода и ускорения.

Радиус орбиты \(r/R\): 1.5R

Орбита

\(v_{\text{орб}}\) (касательная)

\(F_{\text{грав}}\) (к центру)

Спутник вращается по орбите

Закон всемирного тяготения

Формулировка

Два тела массами \(M\) и \(m\) притягиваются с силой:

\[F = \frac{GMm}{r^2}\]

Где \(G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\) -- гравитационная постоянная, \(r\) -- расстояние между центрами масс.

Проще: любые два тела притягиваются. Но сила ОЧЕНЬ слабая для обычных тел. Два человека по 70 кг на расстоянии 1 м притягиваются с силой ~0,000000003 Н. Заметна только для планет и звёзд.

Ускорение свободного падения

На поверхности планеты:

\[g = \frac{GM}{R^2}\]

На высоте \(h\) над поверхностью:

\[g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2} = g_0 \cdot \frac{R^2}{(R+h)^2}\]

На поверхности другой планеты: \(g' = g \cdot \dfrac{M'/M}{(R'/R)^2}\).

Связь \(g\), \(G\), \(M\) и \(R\)

Величина	Формула	Применение
\(g\)	\(GM/R^2\)	У поверхности планеты
\(g(h)\)	\(gR^2/(R+h)^2\)	На высоте \(h\)
\(v_1\)	\(\sqrt{gR}\)	Первая космическая
\(F_{\text{грав}}\)	\(GMm/r^2\)	Закон тяготения

Мини-задача

Масса Земли \(M = 6 \cdot 10^{24}\) кг, радиус \(R = 6{,}4 \cdot 10^6\) м. \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\). Найдите \(g\) (в м/с\(^2\)).

Показать решение

\(g = \dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2} = \dfrac{4 \cdot 10^{14}}{4{,}1 \cdot 10^{13}} \approx 9{,}8\) м/с\(^2\).

Алгоритмы решения

Алгоритм: Движение тела под углом

Задачи на баллистику

1

Выписать данные

Определить \(v_0\), \(\alpha\), \(g\). Перевести в СИ

↓

2

Разложить скорость

\(v_x = v_0\cos\alpha\), \(v_y = v_0\sin\alpha\)

↓

3

Выбрать нужную формулу

\(L\), \(H\), \(t_{\text{пол}}\) или уравнение движения

↓

4

Подставить и вычислить

Не забыть: \(\sin 2\alpha \neq 2\sin\alpha\) !

Алгоритм: Задачи на Архимеда

Выталкивающая сила и плавание

1

Определить состояние тела

Плавает, тонет, или полностью погружено?

↓

2

Записать \(F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}\)

Если плавает: \(F_A = mg\). Если погружено: \(V_{\text{погр}} = V_{\text{тела}}\)

↓

3

Составить уравнение

Второй закон Ньютона или условие равновесия

↓

4

Решить и проверить размерность

Сила в Н, давление в Па, объём в м\(^3\)

Алгоритм: Спутники и орбиты

Круговые орбиты, закон Кеплера

1

Записать \(F_{\text{грав}} = F_{\text{цс}}\)

\(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\)

↓

2

Определить \(r\)

\(r = R + h\) (радиус орбиты, не высота!)

↓

3

Выразить нужную величину

\(v = \sqrt{GM/r}\), \(T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}\)

↓

4

Использовать \(GM = gR^2\) при необходимости

Если не дано \(G\) и \(M\), заменить через \(g\) и \(R\)

Алгоритм: Гидравлический пресс

Закон Паскаля

1

Записать \(F_1/S_1 = F_2/S_2\)

Давление на обоих поршнях одинаково

↓

2

Выразить неизвестную величину

Единицы площади можно не переводить (если одинаковые)

↓

3

Проверить \(F_1 h_1 = F_2 h_2\)

Закон сохранения энергии для контроля

Типичные ошибки

Ошибки в механике движения

1. Путают \(r\) и \(h\) в задачах на орбиты

Задача: спутник на высоте \(h = 400\) км.

Подставляют \(r = h = 400\) км

Правильно: \(r = R + h = 6400 + 400 = 6800\) км

Радиус орбиты \(r\) -- расстояние от ЦЕНТРА Земли, а не от поверхности.

2. \(\sin 2\alpha \neq 2\sin\alpha\)

При вычислении дальности \(L = v_0^2 \sin 2\alpha / g\):

\(\sin 2 \cdot 30° = 2 \sin 30° = 1\)

Правильно: \(\sin 60° = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866\)

\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), а НЕ \(2\sin\alpha\).

3. Забывают переводить единицы

\(R = 6400\) км -- надо перевести в метры!

\(v_1 = \sqrt{10 \cdot 6400} = 253\) м/с

\(v_1 = \sqrt{10 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6} = 8000\) м/с

4. В силе Архимеда берут плотность тела вместо жидкости

\(F_A = \rho_{\text{тела}} \cdot g \cdot V\)

\(F_A = \rho_{\text{жидкости}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}}\)

В формуле Архимеда стоит плотность ЖИДКОСТИ, не тела!

5. Путают объём тела и объём погружённой части

Если тело плавает на поверхности, погружена лишь часть.

\(F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{тела}}\) (для плавающего тела)

\(F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}\), причём \(V_{\text{погр}} < V_{\text{тела}}\)

6. В верхней точке траектории \(v \neq 0\)

При броске под углом в верхней точке \(v_y = 0\), но \(v_x \neq 0\)!

\(v_{\text{верх}} = 0\)

\(v_{\text{верх}} = v_x = v_0\cos\alpha\)

\(v = 0\) только при вертикальном броске (\(\alpha = 90°\)).

7. Давление не зависит от формы сосуда

Узкий сосуд, широкий сосуд -- на одной глубине давление одинаково.

В широком сосуде давление больше (больше воды)

\(p = \rho g h\) -- зависит только от глубины

Это «гидростатический парадокс» Паскаля.

8. На максимальной высоте \(a \neq 0\)

Тело бросили вверх. На максимальной высоте \(v = 0\), но...

\(a = 0\) на максимальной высоте

\(a = g = 9{,}8\) м/с\(^2\) всегда (пока тело в воздухе)

Ускорение свободного падения не зависит от скорости тела!

Банк заданий

Решено: 0/15

#1 Центростремительное ускорение Окружность

▼

Тело движется по окружности радиусом \(R = 0{,}5\) м со скоростью \(v = \pi\) м/с. Найдите центростремительное ускорение \(a_{\text{цс}}\) (м/с\(^2\)). Ответ округлите до десятых.

Полное решение

Формула: \(a_{\text{цс}} = v^2/R\)

Подстановка: \(a = \pi^2 / 0{,}5 = 9{,}87 / 0{,}5\)

Ответ: \(a_{\text{цс}} \approx 19{,}7\) м/с\(^2\)

#2 Первая космическая скорость Космос

▼

\(g = 10\) м/с\(^2\), \(R = 6{,}4 \cdot 10^6\) м. Найдите первую космическую скорость \(v_1\) (в км/с).

Полное решение

Формула: \(v_1 = \sqrt{gR}\)

Подстановка: \(v_1 = \sqrt{10 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6} = \sqrt{6{,}4 \cdot 10^7}\)

Вычисление: \(v_1 = 8000\) м/с \(= 8\) км/с

Ответ: \(v_1 = 8\) км/с

#3 Дальность полёта Баллистика

▼

\(v_0 = 20\) м/с, \(\alpha = 30°\), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите дальность полёта \(L\) (в м).

Полное решение

Формула: \(L = v_0^2 \sin 2\alpha / g\)

Подстановка: \(\sin 60° = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866\)

\(L = 400 \cdot 0{,}866 / 10 = 34{,}6\) м

Ответ: \(L \approx 34{,}6\) м

#4 Максимальная высота Баллистика

▼

\(v_0 = 20\) м/с, \(\alpha = 30°\), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите максимальную высоту \(H\) (в м).

Полное решение

Формула: \(H = v_0^2 \sin^2\alpha / (2g)\)

\(\sin 30° = 0{,}5\), \(\sin^2 30° = 0{,}25\)

\(H = 400 \cdot 0{,}25 / 20 = 5\) м

Ответ: \(H = 5\) м

#5 Время свободного падения Падение

▼

Тело падает с высоты \(h = 45\) м. \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите время падения \(t\) (в с).

Полное решение

Формула: \(h = gt^2/2 \Rightarrow t = \sqrt{2h/g}\)

\(t = \sqrt{2 \cdot 45 / 10} = \sqrt{9} = 3\) с

Ответ: \(t = 3\) с

#6 Сила Архимеда на куб Архимед

▼

Куб со стороной \(a = 0{,}1\) м полностью погружён в воду (\(\rho = 1000\) кг/м\(^3\)), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите \(F_A\) (в Н).

Полное решение

Объём: \(V = a^3 = 0{,}001\) м\(^3\)

Сила: \(F_A = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}001 = 10\) Н

Ответ: \(F_A = 10\) Н

#7 Давление на глубине Давление

▼

Глубина \(h = 20\) м, \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите давление воды (без атмосферного) в кПа.

Полное решение

\(p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 20 = 200\,000\) Па \(= 200\) кПа

Ответ: \(p = 200\) кПа

#8 Гидравлический пресс Паскаль

▼

\(S_1 = 10\) см\(^2\), \(S_2 = 200\) см\(^2\), \(F_1 = 50\) Н. Найдите \(F_2\) (в Н).

Полное решение

\(F_2 = F_1 \cdot S_2/S_1 = 50 \cdot 200/10 = 1000\) Н

Ответ: \(F_2 = 1000\) Н

#9 Доля погружения Плавание

▼

\(\rho_{\text{тела}} = 800\) кг/м\(^3\), \(\rho_{\text{воды}} = 1000\) кг/м\(^3\). Какая доля объёма тела погружена (в %)?

Полное решение

\(V_{\text{погр}}/V = \rho_{\text{тела}}/\rho_{\text{ж}} = 800/1000 = 0{,}8 = 80\%\)

Ответ: 80%

#10 Время полёта при α=60° Баллистика

▼

\(v_0 = 30\) м/с, \(\alpha = 60°\), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите время полёта \(t_{\text{пол}}\) (в с).

Полное решение

\(t = 2v_0\sin\alpha/g = 2 \cdot 30 \cdot \sin 60°/10\)

\(\sin 60° = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866\)

\(t = 60 \cdot 0{,}866/10 = 5{,}2\) с

Ответ: \(t \approx 5{,}2\) с

#11 Период орбиты у поверхности Орбита

▼

\(R_{\text{Земли}} = 6400\) км, \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите период обращения спутника у поверхности Земли (в минутах). \(\pi \approx 3{,}14\).

Полное решение

\(T = 2\pi\sqrt{R/g} = 6{,}28\sqrt{6{,}4 \cdot 10^6 / 10}\)

\(T = 6{,}28 \cdot 800 = 5024\) с \(\approx 84\) мин

Ответ: \(T \approx 84\) мин

#12 Ускорение g из G, M, R Гравитация

▼

\(M = 6 \cdot 10^{24}\) кг, \(R = 6{,}4 \cdot 10^6\) м, \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\). Найдите \(g\) (м/с\(^2\)).

Полное решение

\(g = GM/R^2 = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} / (6{,}4 \cdot 10^6)^2\)

\(= 4 \cdot 10^{14} / 4{,}1 \cdot 10^{13} \approx 9{,}8\) м/с\(^2\)

Ответ: \(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\)

#13 Максимальная высота при броске вверх Падение

▼

Тело бросили вертикально вверх с \(v_0 = 20\) м/с, \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите максимальную высоту (в м).

Полное решение

\(H = v_0^2/(2g) = 400/20 = 20\) м

Ответ: \(H = 20\) м

#14 Ускорение при всплытии Архимед

▼

Шар объёмом \(V = 0{,}01\) м\(^3\) массой \(m = 5\) кг полностью погружён в воду (\(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\)), \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите ускорение при всплытии (м/с\(^2\)).

Полное решение

\(F_A\): \(1000 \cdot 10 \cdot 0{,}01 = 100\) Н

\(mg\): \(5 \cdot 10 = 50\) Н

Второй закон Ньютона: \(ma = F_A - mg\)

\(a = (100 - 50)/5 = 10\) м/с\(^2\)

Ответ: \(a = 10\) м/с\(^2\)

#15 Начальная скорость по дальности Баллистика

▼

\(\alpha = 45°\), дальность \(L = 100\) м, \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите \(v_0\) (м/с). Ответ округлите до десятых.

Полное решение

\(L = v_0^2 \sin 2\alpha / g\), \(\sin 90° = 1\)

\(v_0^2 = Lg = 100 \cdot 10 = 1000\)

\(v_0 = \sqrt{1000} \approx 31{,}6\) м/с

Ответ: \(v_0 \approx 31{,}6\) м/с

Тренажёр

Быстрые задачи

Случайные задачи на все темы раздела. Тренируйте скорость и точность.

Нажмите «Новая задача» для начала

Верно: 0 | Всего: 0 | Серия: 0

Шпаргалка

Все формулы на одном листе

Центростр. ускор.
\(a_{\text{цс}} = v^2/R = \omega^2 R\)

Угловая скорость
\(\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu\)

Линейная скорость
\(v = \omega R\)

Период обращения
\(T = 2\pi R/v\)

1-я космическая
\(v_1 = \sqrt{gR}\)

2-я космическая
\(v_2 = \sqrt{2gR}\)

Дальность
\(L = v_0^2\sin 2\alpha/g\)

Макс. высота
\(H = v_0^2\sin^2\alpha/(2g)\)

Время полёта
\(t = 2v_0\sin\alpha/g\)

Свободное падение
\(h = gt^2/2\), \(v = gt\)

Сила Архимеда
\(F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}\)

Давление
\(p = \rho g h\)

Гидравлич. пресс
\(F_1/S_1 = F_2/S_2\)

Плавание тел
\(V_{\text{погр}}/V = \rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ж}}\)

Закон тяготения
\(F = GMm/r^2\)

Ускорение g
\(g = GM/R^2\)

g на высоте
\(g(h) = gR^2/(R+h)^2\)

Орбитальная скор.
\(v_{\text{орб}} = \sqrt{GM/r}\)

Период орбиты
\(T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}\)

3-й закон Кеплера
\(T^2/r^3 = \text{const}\)

Памятка: типичные значения

\(g\) (Земля)
9,8 (10) м/с\(^2\)

\(R\) (Земля)
6400 км = 6,4\(\cdot 10^6\) м

\(\rho\) воды
1000 кг/м\(^3\)

1 атм
\(10^5\) Па = 101325 Па

\(v_1\) (Земля)
7,9 км/с

\(v_2\) (Земля)
11,2 км/с

\(G\)
6,67\(\cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\)

\(M\) (Земля)
6\(\cdot 10^{24}\) кг