О задании 19
Общая характеристика
Задание 19 оценивается в 4 балла максимум и является самым сложным заданием ЕГЭ по профильной математике. Это единственное задание во второй части, которое проверяет глубокое понимание теории чисел, умение строить примеры и доказательства.
Задание всегда состоит из трёх пунктов: а), б) и в).
Статистика решаемости
- Средняя решаемость в 2025 году: 1.5%
- Даже среди лучших учеников (90+ баллов): 8.2%
- Это означает, что правильное решение этого задания сразу выделяет вас среди абсолютного большинства сдающих
Критерии оценивания
| Баллы | Условие |
|---|---|
| 4 | Верно решены все три пункта а), б), в) |
| 3 | Верно решён пункт в) и один из пунктов а) или б) |
| 2 | Верно решены а) и б), или верно решён только в) |
| 1 | Верно решён только один из пунктов а) или б) |
| 0 | Ни один пункт не решён верно |
Обратите внимание: пункт в) ценится больше всего — за него одного можно получить 2 балла. Именно поэтому метод "оценка + пример" критически важен.
Делимость
Признаки делимости
| Делитель | Признак |
|---|---|
| 2 | Последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8) |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 |
| 4 | Последние две цифры образуют число, делящееся на 4 |
| 5 | Последняя цифра 0 или 5 |
| 6 | Делится одновременно на 2 и на 3 |
| 7 | Удвоенная последняя цифра вычитается из оставшегося числа; результат делится на 7 |
| 8 | Последние три цифры образуют число, делящееся на 8 |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 |
| 10 | Последняя цифра 0 |
| 11 | Разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях делится на 11 |
Основные свойства делимости
Если \(a \mid b\) и \(a \mid c\), то \(a \mid (b \pm c)\)
Если \(a \mid b\), то \(a \mid kb\) для любого целого \(k\)
Транзитивность: если \(a \mid b\) и \(b \mid c\), то \(a \mid c\)
Эти свойства постоянно используются при доказательствах в пунктах б) и в).
Остатки и чётность
Сравнения по модулю
Запись \(a \equiv b \pmod{m}\) означает, что \(a\) и \(b\) дают одинаковый остаток при делении на \(m\), или, что то же самое, \(m \mid (a - b)\).
Сложение: Если \(a \equiv b \pmod{m}\) и \(c \equiv d \pmod{m}\), то \(a + c \equiv b + d \pmod{m}\)
Вычитание: Если \(a \equiv b \pmod{m}\) и \(c \equiv d \pmod{m}\), то \(a - c \equiv b - d \pmod{m}\)
Умножение: Если \(a \equiv b \pmod{m}\) и \(c \equiv d \pmod{m}\), то \(ac \equiv bd \pmod{m}\)
Важнейший факт: остатки квадратов
\[n^2 \equiv 0 \text{ или } 1 \pmod{4}\]
Квадрат любого целого числа даёт остаток 0 или 1 при делении на 4. Никогда 2 или 3!
- Если \(n\) чётное: \(n = 2k\), тогда \(n^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}\)
- Если \(n\) нечётное: \(n = 2k+1\), тогда \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 \equiv 1 \pmod{4}\)
Этот факт часто является ключом к решению пункта б).
Чётность: сложение и вычитание
| Операция | Результат |
|---|---|
| чётное \(\pm\) чётное | чётное |
| нечётное \(\pm\) нечётное | чётное |
| чётное \(\pm\) нечётное | нечётное |
Чётность: умножение
| Операция | Результат |
|---|---|
| чётное \(\times\) любое | чётное |
| нечётное \(\times\) нечётное | нечётное |
НОД и НОК
Алгоритм Евклида
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел находится последовательным делением с остатком:
\[\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(b, \; a \bmod b)\]
Процесс продолжается до тех пор, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
Пример: Найдём \(\text{НОД}(252, 105)\):
\(252 = 2 \cdot 105 + 42\)
\(105 = 2 \cdot 42 + 21\)
\(42 = 2 \cdot 21 + 0\)
Ответ: \(\text{НОД}(252, 105) = 21\)
Связь НОД и НОК
\[\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b\]
Из этого соотношения можно находить НОК, зная НОД:
\[\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\]
Пример: \(\text{НОК}(12, 18) = \dfrac{12 \cdot 18}{\text{НОД}(12, 18)} = \dfrac{216}{6} = 36\)
Полезные свойства
- \(\text{НОД}(a, 0) = a\)
- \(\text{НОД}(a, 1) = 1\)
- Если \(a \mid b\), то \(\text{НОД}(a, b) = a\)
- \(\text{НОД}(ka, kb) = k \cdot \text{НОД}(a, b)\)
- \(\text{НОК}(a, b) \geq \max(a, b)\)
Метод "оценка + пример"
Ключевой метод для пункта в)
Этот метод используется практически в каждом задании 19 для нахождения минимума или максимума
Подробный разбор
Допустим, в задаче спрашивается: "Найдите наименьшее возможное значение X".
- Шаг "оценка": Нужно доказать, что \(X \geq M\) для некоторого числа \(M\). Для этого используют свойства делимости, остатков, неравенства. Ключевая идея: показать, что при \(X < M\) возникает противоречие.
- Шаг "пример": Явно предъявить набор чисел (или конструкцию), при котором \(X = M\). Пример должен удовлетворять всем условиям задачи.
Только вместе обе части составляют полное решение пункта в). Одна оценка без примера — неполное решение. Один пример без оценки — тоже неполное.
Пример применения метода
Задача: На доске написаны 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых четырёх из них — целое число. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных чисел.
Оценка: Все 10 чисел должны давать одинаковый остаток при делении на 4 (иначе найдутся 4 числа с нецелым средним). Наименьшие 10 чисел с одинаковым остатком по модулю 4: это числа вида \(4k + r\). Минимальный набор: \(r, r+4, r+8, \ldots, r+36\). Наименьшее значение максимума: \(r + 36\). При \(r = 1\): максимум = 37.
Пример: Числа \(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37\). Все дают остаток 1 при делении на 4, значит сумма любых четырёх делится на 4, и их среднее целое. Максимум = 37.
Ответ: 37.
Типы задач
Числовые наборы
Задачи о наборах чисел, где требуется, чтобы средние арифметические определённых подмножеств были целыми. Ключевой приём: анализ остатков всех чисел набора по подходящему модулю.
Пример условия: "Написаны 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 4 из них — целое."
Операции с парами чисел
Задачи, где из пары чисел \((a, b)\) можно получить новую пару по определённому правилу. Ключевой приём: поиск инварианта — величины, которая не меняется при операции.
Пример условия: "Из пары \((a; b)\), где \(a > b\), получают пару \((a+b; a-b)\)."
Контейнеры / распределение
Задачи о распределении предметов по контейнерам с процентными или долевыми ограничениями. Ключевой приём: запись условий в виде линейных уравнений/неравенств, анализ граничных случаев.
Пример условия: "Контейнеры 20 т и 60 т. 75% всех контейнеров — с сахаром."
Последовательные числа и делимость
Задачи о свойствах произведений, сумм или других комбинаций последовательных натуральных чисел. Ключевой приём: использование того, что среди \(k\) последовательных чисел ровно одно делится на \(k\).
Типичная структура пунктов
- Пункт а) — обычно требуется привести пример (конструкцию). Оценивается в 1 балл.
- Пункт б) — доказательство или контрпример (показать невозможность). Оценивается в 1 балл.
- Пункт в) — найти минимальное/максимальное значение (метод "оценка+пример"). Оценивается в 2 балла.
Алгоритм решения
Пошаговый алгоритм
Следуйте этим шагам при решении любого задания 19
Типичные ошибки
Задача: "Можно ли...?" Ученик: "Я попробовал несколько случаев, не получилось, значит нельзя."
Это НЕ доказательство!
Нужно: строгое доказательство от противного, или через инвариант, или через анализ остатков — для ВСЕХ возможных случаев.
Ученик приводит набор чисел, но не проверяет одно из условий задачи.
Пример, не удовлетворяющий хотя бы одному условию, не засчитывается.
Нужно: явно проверить каждое условие задачи для приведённого примера.
"В пункте а) всегда да, в пункте б) всегда нет" — это миф!
Бывает наоборот: а) — нет, б) — да. Каждую задачу нужно решать заново.
Правильный ответ без объяснения = 0 баллов. Даже в пункте а) нужно показать, что пример подходит.
Каждый ответ должен сопровождаться обоснованием.
Есть только пример (без оценки) или только оценка (без примера).
За неполное решение пункта в) снижают баллы.
Пункт в) = ОЦЕНКА + ПРИМЕР. Обе части обязательны.
Банк заданий
Из пары натуральных чисел \((a;\, b)\), где \(a > b\), получают новую пару \((a+b;\; a-b)\). Из полученной пары снова можно получить новую по тому же правилу, и так далее.
а) Можно ли из пары \((100;\, 1)\) получить пару, в которой большее число равно 400?
б) Можно ли из пары \((100;\, 1)\) получить пару \((806;\, 788)\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать число \(a\) в паре \((a;\, b)\), из которой можно получить пару \((806;\, 788)\)?
На доске написаны 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырёх из них, а также среднее арифметическое любых пяти из них — целое число.
а) Могут ли среди этих чисел быть числа 403 и 2013?
б) Может ли среди этих чисел быть точный квадрат, если среди них есть число 403?
в) Какое наименьшее значение может принимать \(n\), если среди чисел есть 1 и \(n^2\)?
Имеются контейнеры двух типов: вместимостью 20 тонн и вместимостью 60 тонн. Известно, что 75% всех контейнеров — с сахаром.
а) Может ли масса сахара составлять 80% от суммарной вместимости всех контейнеров?
б) Может ли масса сахара составлять 40% от суммарной вместимости?
в) Какова наибольшая доля сахара от суммарной вместимости?
Из пары чисел \((a;\, b)\) получают пару \((3a - b;\; 3b - a)\).
а) Можно ли из пары \((2;\, 3)\) получить пару \((5;\, 5)\)?
б) Если из пары \((a;\, b)\) получена пара \((c;\, d)\), верно ли, что из \((a;\, b)\) можно получить \((d;\, c)\)?
в) Какое наименьшее расстояние \(|c - d|\) может быть получено из пары \((9;\, 2)\)?
На доске написаны 20 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых шести из них — целое число.
а) Приведите пример таких 20 чисел, среди которых есть число 3.
б) Может ли среди этих чисел быть число 5?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих 20 чисел?
Назовём натуральное число хорошим, если оно представимо в виде суммы трёх (не обязательно различных) взаимно простых натуральных чисел, каждое из которых больше 1.
а) Является ли число 15 хорошим?
б) Является ли число 6 хорошим?
в) Найдите все хорошие числа.
Тренажёр
Быстрый тест по теории чисел
Проверьте свои знания признаков делимости, остатков и чётности.
Шпаргалка
Признаки делимости
Последняя цифра чётная
Сумма цифр \(\vdots\, 3\)
Последние 2 цифры \(\vdots\, 4\)
Последняя: 0 или 5
\(\vdots\, 2\) и \(\vdots\, 3\)
Последние 3 цифры \(\vdots\, 8\)
Сумма цифр \(\vdots\, 9\)
Чередующаяся сумма \(\vdots\, 11\)
Свойства остатков
\(n^2 \bmod 4 \in \{0, 1\}\) — квадрат не даёт остаток 2 или 3 при делении на 4
Остатки можно складывать, вычитать и умножать по модулю
\(\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b\)
Метод "оценка + пример"
- ОЦЕНКА: Доказать, что значение \(\geq M\) (или \(\leq M\))
- ПРИМЕР: Привести конструкцию, где \(= M\)
- Обе части обязательны для полного решения
Структура пунктов
| а) | Пример (конструкция) | 1 балл |
| б) | Доказательство / контрпример | 1 балл |
| в) | Оценка + пример (min/max) | 2 балла |
Критерии оценивания
| 4 | Все три пункта |
| 3 | в) + (а) или б)) |
| 2 | а)+б) или только в) |
| 1 | Только а) или только б) |
| 0 | Ничего верного |