О задании 18

Общая информация

Параметр	Значение
Максимальный балл	4 балла (высокий уровень сложности)
Решаемость	2-5% на полный балл
Типичная формулировка	"Найдите все значения \(a\), при каждом из которых..."
Время на задание	30-40 минут

Критерии оценивания

Баллы	Критерий
4 балла	Полный верный ответ с обоснованием
3 балла	Потеря граничных точек (нестрогое неравенство вместо строгого и наоборот)
2 балла	Частично верное множество значений параметра
1 балл	Верное направление решения + вычислительная ошибка
0 баллов	Решение не соответствует ни одному из критериев

Что нужно знать

Свойства и графики элементарных функций
Расположение корней квадратного трёхчлена
Свойства модуля
Графический метод (подвижная прямая)
Аналитический метод (обратная функция, замена переменной)
Теорему Виета

Графики функций

Линейная функция

\[y = kx + b\]

\(k > 0\) — функция возрастает, \(k < 0\) — убывает
\(k = 0\) — горизонтальная прямая \(y = b\)
Пересечение с осью \(Oy\): точка \((0, b)\)
Пересечение с осью \(Ox\): точка \((-b/k, 0)\) при \(k \neq 0\)

Квадратичная функция

\[y = ax^2 + bx + c\]

Вершина параболы: \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\), \(y_0 = -\dfrac{D}{4a}\)
\(a > 0\) — ветви вверх, \(a < 0\) — ветви вниз
Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\)
\(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один корень, \(D < 0\) — нет корней
Ось симметрии: \(x = x_0\)

Модуль: \(y = |x|\) и \(y = |f(x)|\)

\[y = |f(x)| \text{ — часть графика ниже } Ox \text{ отражается вверх}\]

График \(y = |x|\) — "галочка" с вершиной в начале координат
Для \(y = |f(x)|\): оставляем часть при \(f(x) \geq 0\), отражаем часть при \(f(x) < 0\) относительно оси \(Ox\)
Для \(y = f(|x|)\): строим \(f(x)\) при \(x \geq 0\), затем отражаем относительно оси \(Oy\)

Корень и гипербола

\[y = \sqrt{x}, \quad y = \dfrac{1}{x}\]

\(y = \sqrt{x}\) — определена при \(x \geq 0\), возрастает, выпукла вверх
\(y = \dfrac{1}{x}\) — гипербола, определена при \(x \neq 0\)
Обе функции не имеют экстремумов

Преобразования графиков

Преобразование	Формула	Эффект
Сдвиг вправо на \(a\)	\(y = f(x - a)\)	График сдвигается вправо
Сдвиг вверх на \(b\)	\(y = f(x) + b\)	График сдвигается вверх
Растяжение по \(Oy\)	\(y = k \cdot f(x)\)	Растяжение в \(k\) раз
Отражение от \(Ox\)	\(y = -f(x)\)	Зеркально относительно \(Ox\)
Отражение от \(Oy\)	\(y = f(-x)\)	Зеркально относительно \(Oy\)

Расположение корней квадратного трёхчлена

Ключевая тема задания 18

Для \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a > 0\), вершина \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).

Условия на расположение корней — это система неравенств, которую необходимо решить относительно параметра \(a\).

Интерактивная визуализация: расположение корней

Двигайте ползунок параметра a, чтобы увидеть, как изменяются корни, вершина и выполнение условий для \(f(x) = x^2 - 2ax + a + 2\) (оба корня больше 1).

Оба корня больше \(d\)

\[\begin{cases} D \geq 0 \\ f(d) > 0 \\ x_0 > d \end{cases}\]

Дискриминант неотрицателен, значение в точке \(d\) положительно (парабола выше оси), вершина правее \(d\).

Оба корня меньше \(d\)

\[\begin{cases} D \geq 0 \\ f(d) > 0 \\ x_0 < d \end{cases}\]

Аналогично, но вершина левее \(d\).

Число \(d\) между корнями

\[f(d) < 0\]

Достаточно одного условия! Если \(f(d) < 0\), то \(d\) лежит между корнями (при \(a > 0\)).

Оба корня на отрезке \([p, q]\)

\[\begin{cases} D \geq 0 \\ f(p) \geq 0 \\ f(q) \geq 0 \\ p \leq x_0 \leq q \end{cases}\]

Все четыре условия должны выполняться одновременно.

Теорема Виета

\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\]

Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\):

\[x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q\]

Часто используется для анализа знаков и величин корней без их явного нахождения.

Модуль и параметр

Основные формулы

\[|f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{cases} \text{ при } g(x) \geq 0\]

\[|f(x)| < g(x) \iff -g(x) < f(x) < g(x)\]

\[|f(x)| > g(x) \iff f(x) > g(x) \text{ или } f(x) < -g(x)\]

Свойства модуля

\(|x| \geq 0\) для всех \(x\)
\(|x| = 0 \iff x = 0\)
\(|xy| = |x| \cdot |y|\)
\(|x + y| \leq |x| + |y|\) (неравенство треугольника)
\(|x - y| \geq \big||x| - |y|\big|\)
\(x^2 = |x|^2\)

Графическая интерпретация

\(y = |f(x)|\) — отрицательная часть графика \(f(x)\) отражается вверх относительно оси \(Ox\).

\(y = f(|x|)\) — правая часть графика \(f(x)\) (при \(x \geq 0\)) отражается влево относительно оси \(Oy\). Левая часть исходного графика отбрасывается.

Важно: при раскрытии модуля всегда проверяйте ОДЗ и условие \(g(x) \geq 0\)!

Графический метод

Метод подвижной прямой

Суть метода: одна кривая фиксирована, а другая (зависящая от параметра) "перемещается", меняя количество точек пересечения.

\[\text{Фиксированная кривая: } y = f(x) \quad + \quad \text{семейство прямых: } y = kx + a\]

Когда применять

Система из двух уравнений, где параметр входит линейно
Уравнение вида \(f(x) = g(a)\) или \(f(x) = ax + b\)
Задачи на количество решений (ровно 1, ровно 2, не менее 3 и т.д.)
Можно разделить переменные: \(f(x) = g(a)\)

Интерактивная визуализация: метод подвижной прямой

Выберите кривую, двигайте ползунок параметра a и наблюдайте, как изменяется количество точек пересечения.

Пример с пошаговым разбором

Задача: Найдите все \(a\), при которых \(|x^2 - 4x + 3| = a\) имеет ровно 4 корня.

Шаг 1. Перепишем: \(y = |x^2 - 4x + 3|\) и \(y = a\).

Шаг 2. Строим \(y = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\) — парабола с вершиной в \((2, -1)\), нули в \(x = 1\) и \(x = 3\).

Шаг 3. Для \(y = |x^2 - 4x + 3|\) отражаем часть графика ниже оси \(Ox\) вверх. Минимум \(y = 0\) в точках \(x = 1, 3\); локальный максимум \(y = 1\) в точке \(x = 2\).

Шаг 4. Прямая \(y = a\) — горизонтальная прямая. Считаем точки пересечения:

При \(a < 0\): нет пересечений
При \(a = 0\): 2 точки пересечения
При \(0 < a < 1\): 4 точки пересечения
При \(a = 1\): 3 точки пересечения
При \(a > 1\): 2 точки пересечения

Шаг 5. Ровно 4 корня при \(0 < a < 1\).

Ответ: \(a \in (0; 1)\)

Аналитический метод

Метод обратной функции

Выражаем параметр через переменную: из уравнения \(f(x, a) = 0\) получаем \(a = g(x)\).

Затем исследуем функцию \(g(x)\): находим область значений, экстремумы, монотонность.

\[\text{Уравнение } f(x, a) = 0 \implies a = g(x) \implies E(g) = \text{?}\]

Пример: \(x^2 - 2ax + 3a = 0\). Выразим: \(a = \dfrac{x^2}{2x - 3}\) при \(x \neq \dfrac{3}{2}\). Исследуем \(g(x) = \dfrac{x^2}{2x - 3}\).

Замена переменной

Применяется, когда уравнение содержит составные выражения.

\(2^x = t > 0\) для показательных уравнений
\(\sqrt{x - 1} = t \geq 0\) для иррациональных
\(\sin x = t, \; t \in [-1, 1]\) для тригонометрических

Важно: не забывайте ограничения на новую переменную!

Разбор случаев

Необходим, когда уравнение содержит:

Модуль: раскрываем с учётом знака подмодульного выражения
Корень: проверяем ОДЗ
Дробь: знаменатель не равен нулю
Параметр в коэффициенте при старшей степени: отдельно рассматриваем случай, когда коэффициент равен нулю

Алгоритм решения

Универсальный алгоритм решения задания 18

Следуйте этим шагам для любой задачи с параметром

1

Анализ условия

Определите тип задачи: система, уравнение, неравенство. Что нужно найти?

↓

2

Выбор метода

Графический (подвижная прямая) или аналитический (обратная функция, замена)?

↓

3

Упрощение и замены

Замена переменной, раскрытие модуля, выделение полного квадрата

↓

4

Разбор случаев

Модуль, корень, дробь, параметр в старшем коэффициенте

↓

5

Решение ключевого уравнения

Найдите корни, исследуйте дискриминант, примените теорему Виета

↓

6

Анализ количества решений

Определите, при каких \(a\) выполняется нужное условие

↓

7

Проверка граничных значений

Строгое или нестрогое неравенство? Включена ли граница?

↓

8

Запись ответа

Множество значений параметра в виде интервалов, объединений

Типичные ошибки

Потеря решений

Забыли случай при раскрытии модуля

\(|x - a| = 2x + 1\)

Рассмотрели только \(x - a = 2x + 1\)

Нужно также: \(-(x - a) = 2x + 1\) при \(2x + 1 \geq 0\)

Каждый модуль даёт два случая. Два модуля — четыре случая.

Лишние решения

Не проверили ОДЗ

\(\sqrt{x - 1} = a - x\)

Возвели обе части в квадрат, не проверив \(a - x \geq 0\)

Условие: \(x \geq 1\) и \(a - x \geq 0\), т.е. \(x \leq a\)

При возведении в квадрат всегда проверяйте знак правой части.

Ошибки в граничных точках

Строгое вместо нестрогого неравенства

Оба корня на \([p, q]\): требуется \(f(p) \geq 0\), а не \(f(p) > 0\)

Записали \(a \in (2; 5)\)

Верно: \(a \in [2; 5]\) (граничные точки включены)

Граничные точки стоят 1 балл! Всегда проверяйте, что происходит на границе.

Неточное построение графика

Неверное определение точек пересечения

При графическом методе точное построение — залог верного ответа.

Обязательно: найти вершины, нули, точки перегиба, асимптоты.

Проверить поведение на бесконечности.

Отсутствие обоснования

Ответ без доказательства

Написать только ответ без решения — 0 баллов.

Каждое утверждение должно быть обосновано: ОДЗ, монотонность, экстремумы.

Даже верный ответ без обоснования не оценивается.

Банк заданий

Решено: 0 / 8

#1 Система: окружность и прямая Графический

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a \\ y = x + a \end{cases}\]

имеет ровно 2 решения.

Показать решение

Шаг 1. Первое уравнение — окружность с центром в начале координат, радиус \(r = \sqrt{2a}\) (при \(a > 0\)).

Шаг 2. Второе — прямая \(y = x + a\) с наклоном 45 градусов, пересекающая ось \(Oy\) в точке \((0, a)\).

Шаг 3. Подставим \(y = x + a\) в \(x^2 + y^2 = 2a\): \[x^2 + (x + a)^2 = 2a \implies 2x^2 + 2ax + a^2 - 2a = 0\]

Шаг 4. Дискриминант: \(D = 4a^2 - 8(a^2 - 2a) = -4a^2 + 16a = -4a(a - 4)\).

Шаг 5. \(D > 0 \iff a(a-4) < 0 \iff 0 < a < 4\). При \(a = 0\): система \(x^2+y^2=0\), \(y=x\) — единственное решение \((0,0)\). При \(a = 4\): \(D = 0\), одно решение.

Ответ: \(a \in (0;\, 4)\)

#2 Модуль квадратного трёхчлена Графический

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение

\[|x^2 - 4x + 3| = a\]

имеет ровно 4 корня.

Показать решение

Шаг 1. Строим \(y = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\). Вершина: \((2, -1)\).

Шаг 2. \(y = |x^2-4x+3|\) — часть при \(1 < x < 3\) (где \(y < 0\)) отражается вверх. Локальный максимум в \((2, 1)\).

Шаг 3. Прямая \(y = a\): при \(0 < a < 1\) пересекает график в 4 точках.

Ответ: \(a \in (0;\, 1)\)

#3 Оба корня больше 1 Расположение корней

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых оба корня уравнения

\[x^2 - 2ax + a + 2 = 0\]

больше 1.

Показать решение

Шаг 1. Пусть \(f(x) = x^2 - 2ax + a + 2\). Условия "оба корня больше 1": \[\begin{cases} D \geq 0 \\ f(1) > 0 \\ x_0 > 1 \end{cases}\]

Шаг 2. \(D = 4a^2 - 4(a+2) = 4a^2 - 4a - 8 \geq 0\). Решаем \(a^2 - a - 2 \geq 0\), получаем \(a \leq -1\) или \(a \geq 2\).

Шаг 3. \(f(1) = 1 - 2a + a + 2 = 3 - a > 0 \implies a < 3\).

Шаг 4. \(x_0 = a > 1\).

Шаг 5. Пересечение: \((a \geq 2) \cap (a < 3) \cap (a > 1) = [2;\, 3)\).

Ответ: \(a \in [2;\, 3)\)

#4 Два отрицательных корня Теорема Виета

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение

\[x^2 + 2ax + 3a = 0\]

имеет два различных отрицательных корня.

Показать решение

Шаг 1. Два различных отрицательных корня. По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -2a, \quad x_1 \cdot x_2 = 3a\]

Шаг 2. Условия: \(D > 0\): \(4a^2 - 12a > 0 \implies a(a-3) > 0 \implies a < 0\) или \(a > 3\).

Шаг 3. \(x_1 + x_2 < 0 \implies -2a < 0 \implies a > 0\).

Шаг 4. \(x_1 \cdot x_2 > 0 \implies 3a > 0 \implies a > 0\).

Шаг 5. Пересечение: \((a > 3) \cap (a > 0) \cap (a > 0) = (3;\, +\infty)\).

Ответ: \(a \in (3;\, +\infty)\)

#5 Сумма корней Аналитический

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение

\[\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} = a\]

имеет хотя бы одно решение.

Показать решение

Шаг 1. ОДЗ: \(x - 1 \geq 0\) и \(3 - x \geq 0\), т.е. \(x \in [1, 3]\).

Шаг 2. Пусть \(g(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}\). Найдём область значений \(g\) на \([1, 3]\).

Шаг 3. \(g(1) = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}\), \(g(3) = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}\), \(g(2) = 1 + 1 = 2\).

Шаг 4. Возведём в квадрат: \(g^2 = (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(3-x)} + (3-x) = 2 + 2\sqrt{(x-1)(3-x)}\). Максимум \(\sqrt{(x-1)(3-x)}\) при \(x = 2\): равен 1. Значит \(g^2_{\max} = 4\), \(g_{\max} = 2\). Минимум при \(x = 1\) или \(x = 3\): \(g = \sqrt{2}\).

Шаг 5. Область значений \(g\): \([\sqrt{2};\, 2]\).

Ответ: \(a \in [\sqrt{2};\, 2]\)

#6 Показательное уравнение Замена переменной

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение

\[4^x - (a+3) \cdot 2^x + 2a + 2 = 0\]

имеет единственное решение.

Показать решение

Шаг 1. Замена \(t = 2^x > 0\). Уравнение: \(t^2 - (a+3)t + 2a + 2 = 0\).

Шаг 2. Это квадратное уравнение относительно \(t\). Разложим: \(t^2 - (a+3)t + (2a+2) = 0\).

Шаг 3. Дискриминант: \(D = (a+3)^2 - 4(2a+2) = a^2 + 6a + 9 - 8a - 8 = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2\).

Шаг 4. Корни: \(t = \dfrac{(a+3) \pm |a-1|}{2}\).
При \(a \geq 1\): \(t_1 = \dfrac{a+3+a-1}{2} = a+1\), \(t_2 = \dfrac{a+3-a+1}{2} = 2\).
При \(a < 1\): \(t_1 = \dfrac{a+3+1-a}{2} = 2\), \(t_2 = \dfrac{a+3-1+a}{2} = a+1\).
В обоих случаях корни: \(t = a+1\) и \(t = 2\).

Шаг 5. Единственное решение исходного уравнения:
1) \(t_1 = t_2\): \(a + 1 = 2 \implies a = 1\) — один корень \(t = 2\), одно решение.
2) Один из корней \(\leq 0\), другой \(> 0\): \(a + 1 \leq 0 \implies a \leq -1\). Тогда \(t = 2 > 0\) — одно решение, \(t = a + 1 \leq 0\) — нет решений.

Ответ: \(a \in (-\infty;\, -1] \cup \{1\}\)

#7 Два модуля Аналитический

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение

\[2|x - a| + |x - 1| = 3\]

имеет ровно 2 решения.

Показать решение

Шаг 1. Левая часть: \(g(x) = 2|x - a| + |x - 1|\). Это кусочно-линейная функция с "изломами" в \(x = a\) и \(x = 1\).

Шаг 2. Минимум \(g\) достигается между точками \(a\) и \(1\) (или в одной из них).
Коэффициенты при \(|x - a|\) и \(|x - 1|\): 2 и 1. Так как \(2 > 1\), минимум достигается в \(x = a\).
\(g(a) = 0 + |a - 1| = |a - 1|\).

Шаг 3. При \(x \to \pm\infty\): \(g(x) \to +\infty\).
Уравнение \(g(x) = 3\) имеет ровно 2 решения, когда \(g_{\min} < 3\), то есть \(|a - 1| < 3\), значит \(-2 < a < 4\).
При \(|a - 1| = 3\) (т.е. \(a = -2\) или \(a = 4\)) — ровно 1 решение.
При \(|a - 1| > 3\) — 0 решений.

Ответ: \(a \in (-2;\, 4)\)

#8 Система с корнем Комбинированный

▼

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система

\[\begin{cases} \sqrt{x} = \sqrt{y} + a \\ x + y = 4 \end{cases}\]

имеет ровно одно решение.

Показать решение

Шаг 1. ОДЗ: \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), \(x + y = 4\). Значит \(0 \leq x \leq 4\), \(y = 4 - x\).

Шаг 2. Подставляем: \(\sqrt{x} = \sqrt{4 - x} + a\), т.е. \(a = \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}\).

Шаг 3. Пусть \(h(x) = \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}\) на \([0, 4]\).
\(h(0) = -2\), \(h(4) = 2\), \(h(2) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0\).
\(h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2\sqrt{4-x}} > 0\) на \((0, 4)\) — строго возрастает.

Шаг 4. Так как \(h\) строго монотонна на \([0, 4]\), уравнение \(h(x) = a\) имеет:
ровно одно решение при \(-2 \leq a \leq 2\),
ноль решений при \(|a| > 2\).
Но нужно проверить крайние точки: при \(a = -2\) решение \(x = 0, y = 4\); при \(a = 2\) решение \(x = 4, y = 0\).

Ответ: \(a \in [-2;\, 2]\)

Тренажёр

Определение метода решения

Для каждой задачи определите оптимальный метод решения.

Счёт: 0 / 0

Условия расположения корней

Выберите правильную систему условий для указанного расположения корней трёхчлена \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a > 0\).

Счёт: 0 / 0

Шпаргалка

Расположение корней квадратного трёхчлена

\(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a > 0\), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\)

Оба корня > d
\(D \geq 0\)
\(f(d) > 0\)
\(x_0 > d\)

Оба корня < d
\(D \geq 0\)
\(f(d) > 0\)
\(x_0 < d\)

d между корнями
\(f(d) < 0\)

Корни на [p, q]
\(D \geq 0\)
\(f(p) \geq 0\), \(f(q) \geq 0\)
\(p \leq x_0 \leq q\)

Графический метод

Когда применять
Параметр входит линейно, система из 2 уравнений, задача на количество решений

Подвижная прямая
Фиксированная кривая +
семейство прямых \(y = a\) или \(y = kx + a\)

Ключевое
Точно найти вершины, нули, точки касания, асимптоты

Формулы модуля

\(|f| = g\)
\(f = \pm g\), \(g \geq 0\)

\(|f| < g\)
\(-g < f < g\)

\(|f| > g\)
\(f > g\) или \(f < -g\)

\(|x+y| \leq |x| + |y|\)
Неравенство треугольника

Критерии оценивания

4 балла
Полный верный ответ

3 балла
Потеря граничных точек

2 балла
Частично верное множество

1 балл
Верное направление + ошибка