Теория неравенств

О задании 15

Задание 15 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение решать неравенства. Максимальный балл: 2 балла. Средняя решаемость на экзамене: ~30%.

В задании могут встретиться логарифмические, показательные неравенства, а также неравенства с переменным основанием, требующие метода рационализации.

Свойства логарифмов

Полный список ключевых свойств (для \(a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0,\; c > 0\)):

  1. \[\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\]
  2. \[\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\]
  3. \[\log_a b^k = k \cdot \log_a b\]
  4. \[\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \cdot \log_a b \quad (k \neq 0)\]
  5. \[\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]
  6. \[\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\]
  7. \[a^{\log_a b} = b\]
  8. \[\log_a 1 = 0\]
  9. \[\log_a a = 1\]

Свойства показательной функции

Функция \(y = a^x\) при \(a > 0, \; a \neq 1\):

  • При \(a > 1\) функция возрастает: если \(x_1 < x_2\), то \(a^{x_1} < a^{x_2}\)
  • При \(0 < a < 1\) функция убывает: если \(x_1 < x_2\), то \(a^{x_1} > a^{x_2}\)
  • Для любого \(a > 0\): \(a^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\)

ОДЗ (область допустимых значений)

При решении неравенств с логарифмами обязательно учитывайте ОДЗ:

  • Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(f(x) > 0\)
  • Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: \(a > 0, \; a \neq 1\)
\[\log_a f(x) \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}\]

Метод интервалов

Алгоритм метода интервалов

1
Привести неравенство к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0\) (или \(\leq 0\), \(> 0\), \(< 0\))
2
Найти нули числителя \(P(x) = 0\) и знаменателя \(Q(x) = 0\)
3
Отметить все найденные корни на числовой прямой
4
Определить знак выражения на каждом интервале (подставить пробную точку или использовать правило чередования знаков)
5
Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства. Нули знаменателя всегда исключаются (выколоты)

Пример с пошаговым разбором

Решить неравенство: \(\dfrac{(x-1)(x+3)}{x-5} \leq 0\)

Шаг 1. Неравенство уже в нужном виде. Числитель: \((x-1)(x+3)\), знаменатель: \((x-5)\).
Шаг 2. Нули числителя: \(x = 1\) и \(x = -3\). Нуль знаменателя: \(x = 5\).
Шаг 3. Расставляем на числовой прямой: \(-3, \; 1, \; 5\).
Шаг 4. Определяем знаки на интервалах:
  • \((-\infty, -3)\): подставим \(x = -4\): \(\frac{(-5)(-1)}{-9} = \frac{5}{-9} < 0\) -- минус
  • \((-3, 1)\): подставим \(x = 0\): \(\frac{(-1)(3)}{-5} = \frac{-3}{-5} > 0\) -- плюс
  • \((1, 5)\): подставим \(x = 2\): \(\frac{(1)(5)}{-3} = \frac{5}{-3} < 0\) -- минус
  • \((5, +\infty)\): подставим \(x = 6\): \(\frac{(5)(9)}{1} > 0\) -- плюс
Шаг 5. Нам нужны интервалы со знаком \(\leq 0\). Нули числителя включаем, нуль знаменателя исключаем.
Ответ: \((-\infty; -3] \cup [1; 5)\)

Метод рационализации

Ключевой метод задания 15

Метод рационализации позволяет заменять сложные выражения (с логарифмами и показательными функциями) на более простые алгебраические множители, сохраняя знак неравенства.

После замены применяется метод интервалов.

Таблица замен

Сложный множитель Замена (равносильный множитель)
\(\log_h f(x) - \log_h g(x)\) \((h - 1)(f - g)\)
\(\log_h f(x) - 1\) \((h - 1)(f - h)\)
\(\log_h f(x)\) \((h - 1)(f - 1)\)
\(h^{f(x)} - h^{g(x)}\) \((h - 1)(f - g)\)
\(h^{f(x)} - 1\) \((h - 1) \cdot f\)
\(f^{h(x)} - g^{h(x)}\) \((f - g) \cdot h\)

Важные условия применения

  • \(f > 0\), \(g > 0\), \(h > 0\), \(h \neq 1\)
  • Замены работают только для множителей (выражение должно быть в виде произведения, сравниваемого с нулём)
  • После замены необходимо пересечь с ОДЗ исходного неравенства

Пример применения

Решить: \(\log_{x+2}(3x - 1) \geq 0\)

Шаг 1. Запишем как: \(\log_{x+2}(3x - 1) - 0 \geq 0\), т.е. \(\log_{x+2}(3x-1) \geq 0\).
Шаг 2. По таблице: \(\log_h f \geq 0\) заменяем на \((h-1)(f-1) \geq 0\), т.е. \((x+2-1)(3x-1-1) \geq 0\), что даёт \((x+1)(3x-2) \geq 0\).
Шаг 3. ОДЗ: \(3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}\); \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\); \(x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1\). Итого: \(x > \frac{1}{3}\).
Шаг 4. Методом интервалов решаем \((x+1)(3x-2) \geq 0\): \(x \leq -1\) или \(x \geq \frac{2}{3}\).
Шаг 5. Пересекаем с ОДЗ \((x > \frac{1}{3})\):
Ответ: \(\left[\dfrac{2}{3}; +\infty\right)\)

Логарифмические неравенства

Постоянное основание \(a > 1\)

Логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

\[\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}\]

Пример: \(\log_2(3x+1) > \log_2(x-5)\) равносильно \(\begin{cases} 3x+1 > x-5 \\ x-5 > 0 \end{cases}\)

Постоянное основание \(0 < a < 1\)

Логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

\[\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}\]

Пример: \(\log_{0.5}(2x) > \log_{0.5}(x+3)\) равносильно \(\begin{cases} 2x < x+3 \\ 2x > 0 \end{cases}\)

Переменное основание

Если основание логарифма содержит переменную, применяем метод рационализации.

Типичный вид: \(\log_{g(x)} f(x) \geq \log_{g(x)} h(x)\)

\[\log_{g(x)} f(x) - \log_{g(x)} h(x) \geq 0 \iff (g(x) - 1)(f(x) - h(x)) \geq 0\]

с учётом ОДЗ: \(f(x) > 0\), \(h(x) > 0\), \(g(x) > 0\), \(g(x) \neq 1\).

Сравнение с числом

Неравенства вида \(\log_a f(x) > b\) сводятся к:

\[\log_a f(x) > b \iff \log_a f(x) > \log_a a^b \iff \begin{cases} f(x) > a^b & \text{при } a > 1 \\ f(x) < a^b & \text{при } 0 < a < 1 \end{cases}\]

Показательные неравенства

Основные типы

При решении показательных неравенств ключевую роль играет монотонность показательной функции:

\[a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) > g(x), & a > 1 \\ f(x) < g(x), & 0 < a < 1 \end{cases}\]

Метод замены переменной

Для неравенств, содержащих \(a^x\), делаем замену \(t = a^x\), при этом \(t > 0\).

После замены получаем алгебраическое неравенство относительно \(t\), решаем его, а затем возвращаемся к \(x\).

Пример с полным разбором

Решить неравенство: \(2^x + 17 \cdot 2^{3-x} \leq 25\)

Шаг 1. Преобразуем: \(2^x + 17 \cdot \frac{2^3}{2^x} \leq 25\), т.е. \(2^x + \frac{136}{2^x} \leq 25\).
Шаг 2. Замена: \(t = 2^x\), \(t > 0\). Получаем: \(t + \frac{136}{t} \leq 25\).
Шаг 3. Умножаем на \(t > 0\): \(t^2 + 136 \leq 25t\), т.е. \(t^2 - 25t + 136 \leq 0\).
Шаг 4. Дискриминант: \(D = 625 - 544 = 81\). Корни: \(t = \frac{25 \pm 9}{2}\), т.е. \(t_1 = 8\), \(t_2 = 17\).
Шаг 5. Неравенство: \(8 \leq t \leq 17\). Обратная замена: \(8 \leq 2^x \leq 17\), т.е. \(3 \leq x \leq \log_2 17\).
Ответ: \([3; \; \log_2 17]\)

Алгоритм решения

Универсальный алгоритм решения задания 15

Следуйте этим шагам для любого неравенства

1
Определить тип неравенства
Логарифмическое, показательное, смешанное, с переменным основанием
↓
2
Найти ОДЗ
Аргументы логарифмов > 0, основания > 0 и не равны 1
↓
3
Выбрать метод решения
Метод интервалов / рационализация / замена переменной
↓
4
Решить неравенство
Применить выбранный метод, получить решение
↓
5
Пересечь с ОДЗ
Найти пересечение решения с областью допустимых значений
↓
6
Записать ответ
Правильная запись: объединение интервалов, правильные скобки

Выбор метода

Тип неравенства Рекомендуемый метод
Логарифмическое, постоянное основание Равносильный переход + метод интервалов
Логарифмическое, переменное основание Метод рационализации
Показательное с \(a^x\) Замена \(t = a^x\)
Смешанное (логарифмы + степени) Рационализация + интервалы
Рациональное Метод интервалов

Типичные ошибки

Ошибки, которых нужно избегать

1. Деление на выражение неизвестного знака

Нельзя делить обе части неравенства на выражение, содержащее переменную, если его знак неизвестен!

Неверно: \(x \cdot f(x) > x \cdot g(x) \Rightarrow f(x) > g(x)\)

Верно: перенести всё в одну сторону и решить методом интервалов

Знак выражения с переменной может меняться, поэтому деление недопустимо без рассмотрения случаев.

2. Забывание ОДЗ

Самая распространённая ошибка -- не учитывать область допустимых значений.

Всегда проверяйте: аргументы логарифмов > 0, основания > 0 и не равны 1.

Без ОДЗ можно получить посторонние решения или потерять ограничения.

3. Неверная смена знака при \(0 < a < 1\)

При основании логарифма, меньшем единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Неверно: \(\log_{0.5} f > \log_{0.5} g \Rightarrow f > g\)

Верно: \(\log_{0.5} f > \log_{0.5} g \Rightarrow f < g\) (при \(f > 0, g > 0\))

4. Возведение в квадрат без проверки знака

Возведение обеих частей неравенства в квадрат допустимо только когда обе части неотрицательны.

Неверно: \(f(x) > g(x) \Rightarrow f^2(x) > g^2(x)\) (если \(g\) может быть отрицательным)

Необходимо рассматривать случаи в зависимости от знаков обеих частей.

5. Потеря граничных точек

При нестрогих неравенствах (\(\leq\), \(\geq\)) граничные точки входят в ответ (если принадлежат ОДЗ).

При строгих (\(<\), \(>\)) -- не входят.

Особое внимание на нули знаменателя -- они всегда выколоты!

Банк заданий

Решено: 0 / 10
#1 Решите неравенство: \(2^x + 17 \cdot 2^{3-x} \leq 25\)
Показательное ▼
Показать решение
Шаг 1. Преобразуем: \(2^x + \frac{136}{2^x} \leq 25\).
Шаг 2. Замена \(t = 2^x > 0\): \(t + \frac{136}{t} \leq 25\).
Шаг 3. \(t^2 - 25t + 136 \leq 0\), корни: \(t = 8, t = 17\).
Шаг 4. \(8 \leq t \leq 17\), обратно: \(3 \leq x \leq \log_2 17\).
Ответ: \([3;\; \log_2 17]\)
#2 Решите неравенство: \(\log_{1/2}(1-x) < \frac{1}{2} \log_{1/2}(3x+1)\)
Логарифмическое ▼
Показать решение
Шаг 1. Перепишем: \(\log_{1/2}(1-x) < \log_{1/2}\sqrt{3x+1}\).
Шаг 2. Основание \(0 < \frac{1}{2} < 1\), функция убывает, знак меняется: \(1-x > \sqrt{3x+1}\).
Шаг 3. ОДЗ: \(1-x > 0 \Rightarrow x < 1\); \(3x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}\).
Шаг 4. Возводим в квадрат (обе части положительны на ОДЗ): \((1-x)^2 > 3x+1\), \(x^2-5x > 0\), \(x(x-5)>0\).
Шаг 5. Решение: \(x < 0\) или \(x > 5\). Пересекаем с ОДЗ: \(-\frac{1}{3} < x < 0\).
Ответ: \(\left(-\dfrac{1}{3};\; 0\right)\)
#3 Решите неравенство: \(\log_{3-x}\dfrac{x+4}{(x-3)^2} \geq -2\)
Переменное основание ▼
Показать решение
Шаг 1. Перепишем: \(\log_{3-x}\frac{x+4}{(x-3)^2} \geq -2 = \log_{3-x}(3-x)^{-2}\).
Шаг 2. Рационализация: \((3-x-1)\left(\frac{x+4}{(x-3)^2} - (3-x)^{-2}\right) \geq 0\).
Шаг 3. Заметим \((x-3)^2 = (3-x)^2\), упрощаем: \((2-x) \cdot \frac{x+4-1}{(3-x)^2} \geq 0\), т.е. \(\frac{(2-x)(x+3)}{(3-x)^2} \geq 0\).
Шаг 4. ОДЗ: \(\frac{x+4}{(x-3)^2} > 0 \Rightarrow x > -4\), \(x \neq 3\); \(3-x > 0, 3-x \neq 1 \Rightarrow x < 3, x \neq 2\). Итого: \(-4 < x < 3, x \neq 2\).
Шаг 5. Методом интервалов: \(-3 \leq x \leq 2\). Пересечение с ОДЗ: \([-3; 2)\) (точка 2 выколота из ОДЗ).
Ответ: \([-3;\; 2)\)
#4 Решите неравенство: \(\log_2(x-5) + \log_2(x) \leq \log_2(36)\)
Логарифмическое ▼
Показать решение
Шаг 1. Сумма логарифмов: \(\log_2(x(x-5)) \leq \log_2 36\).
Шаг 2. Основание \(2 > 1\): \(x(x-5) \leq 36\), т.е. \(x^2 - 5x - 36 \leq 0\).
Шаг 3. Корни: \(x = 9\) и \(x = -4\). Неравенство: \(-4 \leq x \leq 9\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x > 0\) и \(x > 5\), т.е. \(x > 5\).
Шаг 5. Пересечение: \((5; 9]\).
Ответ: \((5;\; 9]\)
#5 Решите неравенство: \(9^x - 4 \cdot 3^x - 21 \leq 0\)
Показательное ▼
Показать решение
Шаг 1. Замена \(t = 3^x > 0\): \(t^2 - 4t - 21 \leq 0\).
Шаг 2. Корни: \(t = 7\) и \(t = -3\). Неравенство: \(-3 \leq t \leq 7\).
Шаг 3. С учётом \(t > 0\): \(0 < t \leq 7\), т.е. \(3^x \leq 7\).
Шаг 4. \(x \leq \log_3 7\).
Ответ: \((-\infty;\; \log_3 7]\)
#6 Решите неравенство: \(\log_{x+3}(2x+6) \geq 2\)
Переменное основание ▼
Показать решение
Шаг 1. Перепишем: \(\log_{x+3}(2x+6) - 2 \geq 0\), т.е. \(\log_{x+3}(2x+6) - \log_{x+3}(x+3)^2 \geq 0\).
Шаг 2. Рационализация: \((x+3-1)(2x+6-(x+3)^2) \geq 0\), т.е. \((x+2)(-(x^2+4x+3)) \geq 0\).
Шаг 3. \(-(x+2)(x+1)(x+3) \geq 0\), т.е. \((x+2)(x+1)(x+3) \leq 0\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x+3 > 0, x+3 \neq 1, 2x+6 > 0\), т.е. \(x > -3, x \neq -2\).
Шаг 5. Методом интервалов: \(x \leq -3\) или \(-2 \leq x \leq -1\). С учётом ОДЗ: \(x = -1\) (при \(x = -2\) основание = 1).
Ответ: \(\{-1\}\)
#7 Решите неравенство: \(\dfrac{4^x - 2^{x+1}}{2^x - 4} \leq 0\)
Показательное ▼
Показать решение
Шаг 1. Замена \(t = 2^x > 0\): \(\frac{t^2 - 2t}{t - 4} \leq 0\), т.е. \(\frac{t(t-2)}{t-4} \leq 0\).
Шаг 2. Нули: \(t = 0, t = 2\). Знаменатель: \(t = 4\). С учётом \(t > 0\):
Шаг 3. На \((0, 2]\): \(\leq 0\). На \((4, +\infty)\): \(\leq 0\) нет. Решение: \(0 < t \leq 2\) или \(t > 4\) -- нет, проверим знаки.
Шаг 4. При \(t \in (0, 2)\): числитель \(+\cdot- = -\), знаменатель \(-\). Итого \(+\) -- не подходит. При \(t \in (2, 4)\): \(+\cdot+ = +\), знаменатель \(-\). Итого \(-\) -- подходит. При \(t > 4\): всё \(+\). Итого \(+\) -- не подходит.
Шаг 5. Решение: \(t = 0\) (не подходит, \(t > 0\)) или \(2 \leq t < 4\). Обратно: \(1 \leq x < 2\).
Ответ: \([1;\; 2)\)
#8 Решите неравенство: \(\log_3(x^2 - 4x) > \log_3(4x - x^2 + 6)\)
Логарифмическое ▼
Показать решение
Шаг 1. Основание \(3 > 1\): \(x^2 - 4x > 4x - x^2 + 6\).
Шаг 2. \(2x^2 - 8x - 6 > 0\), т.е. \(x^2 - 4x - 3 > 0\).
Шаг 3. Корни: \(x = 2 \pm \sqrt{7}\). Решение: \(x < 2 - \sqrt{7}\) или \(x > 2 + \sqrt{7}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x^2 - 4x > 0 \Rightarrow x < 0\) или \(x > 4\); \(4x - x^2 + 6 > 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 6 < 0 \Rightarrow 2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10}\).
Шаг 5. Пересечение: \((2-\sqrt{10};\; 2-\sqrt{7}) \cup (2+\sqrt{7};\; 2+\sqrt{10})\).
Ответ: \((2-\sqrt{10};\; 2-\sqrt{7}) \cup (2+\sqrt{7};\; 2+\sqrt{10})\)
#9 Решите неравенство: \(\log_{x-1}(x^2 - 2x) \leq 1\)
Переменное основание ▼
Показать решение
Шаг 1. Перепишем: \(\log_{x-1}(x^2-2x) - 1 \leq 0\), т.е. \(\log_{x-1}(x^2-2x) - \log_{x-1}(x-1) \leq 0\).
Шаг 2. Рационализация: \((x-1-1)(x^2-2x-(x-1)) \leq 0\), т.е. \((x-2)(x^2-3x+1) \leq 0\).
Шаг 3. Корни \(x^2-3x+1=0\): \(x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x-1 > 0, x-1 \neq 1, x^2-2x > 0\), т.е. \(x > 1, x \neq 2, x(x-2) > 0\). Итого: \(x > 2\).
Шаг 5. Пересечение с ОДЗ: \(\left(2;\; \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right]\).
Ответ: \(\left(2;\; \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right]\)
#10 Решите неравенство: \(5^{x+1} - 7 \cdot 5^x + 2 \cdot 5^{x-1} \geq 4\)
Показательное ▼
Показать решение
Шаг 1. Вынесем \(5^{x-1}\): \(5^{x-1}(5^2 - 7 \cdot 5 + 2) \geq 4\), т.е. \(5^{x-1}(25 - 35 + 2) \geq 4\).
Шаг 2. \(5^{x-1} \cdot (-8) \geq 4\), т.е. \(5^{x-1} \leq -\frac{1}{2}\).
Шаг 3. Но \(5^{x-1} > 0\) для всех \(x\), а \(-\frac{1}{2} < 0\). Противоречие.
Ответ: нет решений (\(\emptyset\))

Тренажёр

Тренировка навыков

Отвечайте на вопросы, проверяйте свои знания теории. Выберите правильный вариант ответа.

Правильно: 0 Всего: 0 Серия: 0

Шпаргалка

Быстрый справочник

Свойства логарифмов
\(\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c\)
\(\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\)
\(\log_a b^k = k \log_a b\)
\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)
\(a^{\log_a b} = b\)
Таблица рационализации
\(\log_h f - \log_h g \to (h{-}1)(f{-}g)\)
\(\log_h f - 1 \to (h{-}1)(f{-}h)\)
\(\log_h f \to (h{-}1)(f{-}1)\)
\(h^f - h^g \to (h{-}1)(f{-}g)\)
\(h^f - 1 \to (h{-}1) \cdot f\)
ОДЗ правила
Аргумент: \(f(x) > 0\)
Основание: \(a > 0\)
Основание: \(a \neq 1\)
Знаменатель: \(\neq 0\)
Равносильные переходы
\(a > 1\): знак сохраняется
\(0 < a < 1\): знак меняется
Перем. основание: рационализация
\(a^x\): замена \(t = a^x > 0\)

Алгоритм решения (кратко)

  1. Определить тип неравенства
  2. Найти ОДЗ (аргументы > 0, основания > 0, основания не равны 1)
  3. Выбрать метод: интервалы / рационализация / замена
  4. Решить неравенство выбранным методом
  5. Пересечь решение с ОДЗ
  6. Записать ответ в правильной форме