Задание 13 ЕГЭ по профильной математике
Что это за задание?
Задание 13 — это тригонометрическое уравнение с отбором корней. Оно состоит из двух пунктов:
- Пункт а) — решить уравнение (записать общую формулу корней)
- Пункт б) — найти корни, принадлежащие заданному отрезку
Критерии оценивания
Типичная формулировка
а) Решите уравнение \(2\sin^3 x = 2\cos 2x + 2\sin x\).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;\; -\dfrac{5\pi}{2}\right]\).
Что нужно знать для решения
Единичная окружность
Значения sin и cos для стандартных углов, радианы
Тригонометрические формулы
Тождества, двойной угол, сумма/разность, понижение степени
Методы решения
Замена, разложение на множители, однородные уравнения
Отбор корней
Окружность, числовая прямая, аналитический метод
Частые ошибки (из отчётов экспертов)
- Неверный отбор корней — забывают проверить концы отрезка
- Ошибки в периодах тригонометрических функций
- Потеря корней при делении на \(\sin x\) или \(\cos x\) без проверки
- Неверное применение формул двойного угла
- Отсутствие обоснований переходов
Разбор типичных ошибок
Конкретные примеры ошибок, которые стоят баллов на экзамене:
\(\sin x \cdot \cos x = \cos x\)
Делим обе части на \(\cos x\):
\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\)
\(\sin x \cdot \cos x - \cos x = 0\)
\(\cos x(\sin x - 1) = 0\)
\(\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\)
\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\)
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\)
Записана только одна серия корней!
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
\(x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\)
Это включает две серии: \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\)
Отрезок \([-4\pi;\; -\dfrac{5\pi}{2}]\), корни \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\)
Проверяют \(k = -3, -4\), но забывают проверить границы.
Нужно проверить: попадает ли корень точно на границу отрезка?
\(k = -3\): \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\) -- это правая граница, она входит! (отрезок замкнутый)
\(k = -4\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) -- попадает внутрь отрезка.
Единичная окружность
Интерактивная единичная окружность
Наведите мышь или нажмите на окружность, чтобы увидеть значения sin и cos для любого угла. Нажмите на стандартный угол справа, чтобы зафиксировать его.
Таблица значений тригонометрических функций
| Градусы | Радианы | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Градусы и радианы
Формула перевода: \(\alpha_{\text{рад}} = \dfrac{\pi \cdot \alpha°}{180°}\)
Знаки функций по четвертям
II четверть
\(\frac{\pi}{2} < x < \pi\)
sin > 0, cos < 0
tg < 0, ctg < 0
I четверть
\(0 < x < \frac{\pi}{2}\)
sin > 0, cos > 0
tg > 0, ctg > 0
III четверть
\(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\)
sin < 0, cos < 0
tg > 0, ctg > 0
IV четверть
\(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\)
sin < 0, cos > 0
tg < 0, ctg < 0
Обратные тригонометрические функции
Таблица значений arcsin, arccos, arctg для стандартных аргументов:
| \(x\) | \(\arcsin x\) | \(\arccos x\) | \(\mathrm{arctg}\, x\) |
|---|---|---|---|
| \(-1\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | — |
| \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | — |
| \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | — |
| \(0\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | — |
| \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | — |
| \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | — |
| \(1\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | — | — | \(\dfrac{\pi}{6}\) |
| \(\sqrt{3}\) | — | — | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
Области определения и значений
Свойства обратных функций
Тренажёр: определи четверть
Определите, в какой четверти находится угол и какие знаки имеют тригонометрические функции.
Тригонометрические формулы
Справочные материалы на экзамене
На профильном ЕГЭ выдают только 4 формулы. Всё остальное — наизусть!
\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)
\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)
Основные тригонометрические тождества
Тренажёр: проверь формулу
Проверьте, верна ли приведённая формула. Тренируйте память!
Решение тригонометрических уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения
Частные случаи (знать наизусть!)
| Уравнение | Решение |
|---|---|
| \(\sin x = 0\) | \(x = \pi n\) |
| \(\sin x = 1\) | \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\) |
| \(\sin x = -1\) | \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\) |
| \(\cos x = 0\) | \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cos x = 1\) | \(x = 2\pi n\) |
| \(\cos x = -1\) | \(x = \pi + 2\pi n\) |
Алгоритм решения задания 13
Пошаговая схема для любого тригонометрического уравнения:
Приведение к одной функции
Используем основное тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) для замены одной функции через другую.
Заменим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
\(2(1-\cos^2 x) - \cos x - 1 = 0\)
\(-2\cos^2 x - \cos x + 1 = 0\)
\(2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0\)
Замена: \(t = \cos x\), \(|t| \le 1\)
\(2t^2 + t - 1 = 0\)
\(t_1 = \frac{1}{2}\), \(t_2 = -1\)
\(\cos x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
\(\cos x = -1\) ⇒ \(x = \pi + 2\pi n\)
Ответ: \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(x = \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)
Разложение на множители
Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель.
Заменяем \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\):
\(2\sin x\cos x - \cos x = 0\)
Выносим \(\cos x\):
\(\cos x(2\sin x - 1) = 0\)
\(\cos x = 0\) ⇒ \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\)
\(\sin x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n\)
Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)
Однородные уравнения
Уравнение вида \(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0\) — однородное 2-й степени. Делим обе части на \(\cos^2 x\).
Заметим, что \(\cos x = 0\) не является решением (подставим: \(3\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0\), но тогда \(\sin^2 x + \cos^2 x = 0 \neq 1\)).
Делим на \(\cos^2 x\):
\(3\mathrm{tg}^2 x - 4\mathrm{tg}\, x + 1 = 0\)
Замена \(t = \mathrm{tg}\, x\):
\(3t^2 - 4t + 1 = 0\)
\(t_1 = 1\), \(t_2 = \frac{1}{3}\)
\(\mathrm{tg}\, x = 1\) ⇒ \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\)
\(\mathrm{tg}\, x = \frac{1}{3}\) ⇒ \(x = \mathrm{arctg}\,\frac{1}{3} + \pi n\)
Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(x = \mathrm{arctg}\,\frac{1}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)
Использование формул двойного угла
Раскрываем \(\cos 2x\) или \(\sin 2x\) и приводим к одной функции или разлагаем на множители.
Заменим \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\):
\(1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\)
\(-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0\)
\(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\)
Замена \(t = \sin x\): \(2t^2 - 3t + 1 = 0\)
\(t_1 = 1\), \(t_2 = \frac{1}{2}\)
\(\sin x = 1\) ⇒ \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
\(\sin x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k\)
Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k\), \(n, k \in \mathbb{Z}\)
Введение вспомогательного угла
Для уравнений вида \(a\sin x + b\cos x = c\). Делим на \(\sqrt{a^2+b^2}\) и получаем \(\sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Делим на \(\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\):
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n\frac{\pi}{4} + \pi n\)
\(x = (-1)^n\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n\)
При \(n = 2m\): \(x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi m = 2\pi m\)
При \(n = 2m+1\): \(x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi m = \frac{\pi}{2} + 2\pi m\)
Ответ: \(x = 2\pi n\), \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)
Группировка
Группируем слагаемые попарно и выносим общие множители.
Применяем формулу суммы синусов к левой части:
\(\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x \cos x\)
Подставляем в уравнение:
\(2\sin 2x \cos x - \sin 2x = 0\)
Выносим \(\sin 2x\):
\(\sin 2x(2\cos x - 1) = 0\)
\(\sin 2x = 0\) ⇒ \(2x = \pi n\) ⇒ \(x = \frac{\pi n}{2}\)
\(\cos x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)
Ответ: \(x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\)
Показательно-тригонометрические уравнения
Уравнения, в которых тригонометрическая функция стоит в показателе степени. Встречаются на реальном ЕГЭ! Решаются заменой показательного выражения.
Замена: \(t = a^{f(x)}\), \(t > 0\). Уравнение принимает вид \(t + \dfrac{1}{t} = c\), т.е. \(t^2 - ct + 1 = 0\).
Важно: после нахождения \(t\) проверить \(t > 0\), затем решить \(a^{f(x)} = t\) через логарифмирование.
Замена: \(t = 9^{\sin x}\), \(t > 0\). Тогда \(9^{-\sin x} = \dfrac{1}{t}\).
\(t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{10}{3}\)
\(3t^2 - 10t + 3 = 0\)
\(t_1 = 3\), \(t_2 = \dfrac{1}{3}\). Оба > 0 — подходят.
\(9^{\sin x} = 3 = 9^{1/2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n\dfrac{\pi}{6} + \pi n\)
\(9^{\sin x} = \dfrac{1}{3} = 9^{-1/2} \Rightarrow \sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi n\)
Ответ: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
\(81 = 9^2\), поэтому \(81^{\sin x} = (9^{\sin x})^2\).
Замена: \(t = 9^{\sin x}\), \(t > 0\):
\(3t^2 - 28t + 9 = 0\)
\(D = 784 - 108 = 676\)
\(t_1 = \dfrac{28+26}{6} = 9 = 9^1\), \(t_2 = \dfrac{28-26}{6} = \dfrac{1}{3} = 9^{-1/2}\)
\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\)
\(\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi k\)
Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\; x = (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\; n, k \in \mathbb{Z}\)
Типичные ловушки
- Деление на sin x или cos x — можно потерять корни! Сначала проверьте, является ли 0 корнем
- Забыть ОДЗ — tg x не определён при \(\cos x = 0\), ctg x — при \(\sin x = 0\)
- Неверный период — у sin и cos период \(2\pi\), у tg и ctg — \(\pi\)
- Лишние корни при замене — проверяйте \(|t| \le 1\) для sin и cos
Отбор корней на отрезке
Три метода отбора корней
Пункт б) — это то, что отличает 2 балла от 1 балла. Вот три способа найти корни на отрезке:
Числовая окружность
Самый наглядный и надёжный способ. Алгоритм:
- Нарисовать единичную окружность
- Отметить на ней точки, соответствующие корням уравнения
- Определить, какие из этих точек попадают в нужный отрезок
- Для отрезков с отрицательными углами — двигаться по часовой стрелке
Переберём значения k:
\(k = -2\): \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71\) — не попадает (< -4π ≈ -12.57? Нет, -4.71 > -12.57). Попадает ли в \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\)? \(-12.57 \le -4.71\) — да, но \(-4.71 \le -7.85\)? Нет. Не попадает.
\(k = -3\): \(x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85\) — попадает!
\(k = -4\): \(x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} \approx -11.0\) — попадает!
\(k = -5\): \(x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2} \approx -14.14\) — не попадает (< -4π)
Ответ: \(-\frac{7\pi}{2}\), \(-\frac{5\pi}{2}\)
Двойное неравенство (аналитический)
Подставляем общую формулу в неравенство и находим целые n:
\(-4\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2}\)
Вычтем \(\frac{\pi}{3}\):
\(-4\pi - \frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\)
\(-\frac{13\pi}{3} \le 2\pi n \le -\frac{17\pi}{6}\)
Разделим на \(2\pi\):
\(-\frac{13}{6} \le n \le -\frac{17}{12}\)
\(-2.17 \le n \le -1.42\)
Целое \(n = -2\): \(x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}\)
Ответ: \(-\frac{11\pi}{3}\)
Перебор значений n
Просто подставляем \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) и проверяем попадание.
Тренажёр: отбор корней
Даны корни уравнения и отрезок. Найдите, какие корни принадлежат отрезку.
Базовые задания
Средний уровень
Уровень ЕГЭ
Задания ФИПИ
Режим экзамена
Настройки
Шпаргалка
Основное тождество
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
Двойной угол
\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)
Понижение степени
\(\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}\)
\(\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}\)
sin x = a
\(x = (-1)^n\arcsin a + \pi n\)
cos x = a
\(x = \pm\arccos a + 2\pi n\)
tg x = a
\(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n\)
Частные случаи
\(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n\)
\(\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n\)
Сумма → Произведение
\(\sin\alpha\pm\sin\beta = 2\sin/\cos\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cdot\cos/\sin\frac{\alpha\mp\beta}{2}\)
Флеш-карточки
Тренируйте память! Посмотрите на вопрос, подумайте, затем проверьте себя.