Производная функции

Определение

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]

Геометрический смысл

Производная функции в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

\[f'(x_0) = \tan \alpha\]

где \(\alpha\) — угол наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\).

Уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0\):

\[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\]

Физический смысл

Если \(s(t)\) — закон движения точки, то \(s'(t) = v(t)\) — мгновенная скорость, а \(v'(t) = a(t)\) — ускорение.

Таблица производных

Элементарные функции

Функция \(f(x)\)Производная \(f'(x)\)
\(C\) (const)\(0\)
\(x\)\(1\)
\(x^n\)\(n \cdot x^{n-1}\)
\(\dfrac{1}{x}\)\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(a^x\)\(a^x \ln a\)
\(\ln x\)\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a x\)\(\dfrac{1}{x \ln a}\)
\(\sin x\)\(\cos x\)
\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\mathrm{tg}\, x\)\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(\mathrm{ctg}\, x\)\(-\dfrac{1}{\sin^2 x}\)

Правила дифференцирования

Основные правила

ПравилоФормула
Константа\((C \cdot f)' = C \cdot f'\)
Сумма\((f + g)' = f' + g'\)
Произведение\((f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\)
Частное\(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\)
Сложная функция\(\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

Примеры производных сложных функций

\[(\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}\]
\[(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)\]
\[(\sin g(x))' = \cos g(x) \cdot g'(x)\]
\[((g(x))^n)' = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)\]

Производная сложной функции

Цепное правило (chain rule)

Если функция \(y = f(g(x))\) является композицией двух дифференцируемых функций, то её производная равна:

\[\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Другими словами: производная внешней функции по внутреннему аргументу, умноженная на производную внутренней функции.

Мнемоника: сначала дифференцируем «снаружи», потом «изнутри».

Пример 1: \(\sin(3x)\)

Внешняя функция: \(f(u) = \sin u\), внутренняя: \(g(x) = 3x\).

\[(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)\]
Шаг 1. Определяем внешнюю функцию: \(\sin(\ldots)\). Её производная: \(\cos(\ldots)\).
Шаг 2. Определяем внутреннюю функцию: \(3x\). Её производная: \(3\).
Шаг 3. Перемножаем: \(\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)\).

Пример 2: \(e^{2x+1}\)

Внешняя: \(f(u) = e^u\), внутренняя: \(g(x) = 2x + 1\).

\[(e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = 2e^{2x+1}\]
Шаг 1. Внешняя \(e^{(\ldots)}\) -- производная совпадает с самой функцией: \(e^{(\ldots)}\).
Шаг 2. Внутренняя \(2x+1\), производная: \(2\).
Шаг 3. Итого: \(e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}\).

Пример 3: \(\ln(x^2 + 1)\)

Внешняя: \(f(u) = \ln u\), внутренняя: \(g(x) = x^2 + 1\).

\[(\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}\]
Шаг 1. Внешняя \(\ln(\ldots)\), производная: \(\dfrac{1}{(\ldots)}\).
Шаг 2. Внутренняя \(x^2 + 1\), производная: \(2x\).
Шаг 3. Итого: \(\dfrac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}\).

Пример 4: \((2x - 1)^5\)

Внешняя: \(f(u) = u^5\), внутренняя: \(g(x) = 2x - 1\).

\[((2x-1)^5)' = 5(2x-1)^4 \cdot (2x-1)' = 5(2x-1)^4 \cdot 2 = 10(2x-1)^4\]
Шаг 1. Внешняя \((\ldots)^5\), производная: \(5(\ldots)^4\).
Шаг 2. Внутренняя \(2x - 1\), производная: \(2\).
Шаг 3. Итого: \(5(2x-1)^4 \cdot 2 = 10(2x-1)^4\).

Пример 5: \(\sqrt{3x + 4}\)

Внешняя: \(f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}\), внутренняя: \(g(x) = 3x + 4\).

\[(\sqrt{3x+4})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+4}} \cdot (3x+4)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}}\]
Шаг 1. Внешняя \(\sqrt{(\ldots)}\), производная: \(\dfrac{1}{2\sqrt{(\ldots)}}\).
Шаг 2. Внутренняя \(3x + 4\), производная: \(3\).
Шаг 3. Итого: \(\dfrac{1}{2\sqrt{3x+4}} \cdot 3 = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+4}}\).

Важно запомнить

Цепное правило -- самый частый источник ошибок на ЕГЭ. Каждый раз, когда аргумент функции -- не просто \(x\), а выражение от \(x\), нужно домножать на производную этого выражения!

\[(\sin x)' = \cos x \quad \text{НО} \quad (\sin(3x))' = 3\cos(3x)\]
\[(e^x)' = e^x \quad \text{НО} \quad (e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}\]

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума

Если функция \(f(x)\) имеет экстремум в точке \(x_0\) и дифференцируема в ней, то \(f'(x_0) = 0\).

Точки, в которых \(f'(x) = 0\) или \(f'(x)\) не существует, называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума (первый признак)

Пусть \(x_0\) — критическая точка функции \(f(x)\). Тогда:

  • Если \(f'(x)\) меняет знак с \(+\) на \(-\) при переходе через \(x_0\), то \(x_0\) — точка максимума.
  • Если \(f'(x)\) меняет знак с \(-\) на \(+\) при переходе через \(x_0\), то \(x_0\) — точка минимума.
  • Если знак \(f'(x)\) не меняется, то экстремума в точке \(x_0\) нет.

Второй достаточный признак

Если \(f'(x_0) = 0\) и \(f''(x_0) \neq 0\), то:

  • \(f''(x_0) < 0\) — точка максимума
  • \(f''(x_0) > 0\) — точка минимума

Возрастание и убывание

  • \(f'(x) > 0\) на промежутке — функция возрастает
  • \(f'(x) < 0\) на промежутке — функция убывает

Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения

Алгоритм решения задания 12

Следуй этим 5 шагам - и задание решено!

1
Найди f'(x)
Вычисли производную функции
↓
2
Реши f'(x) = 0
Найди стационарные точки
↓
3
Отбери точки из [a; b]
Оставь только те, что попали в отрезок
↓
4
Вычисли f(x) в точках И на концах
Не забудь f(a) и f(b) — концы отрезка!
↓
5
Сравни и выбери ответ
Наибольшее или наименьшее из всех значений

На замкнутом отрезке \([a;\, b]\)

1
Найти производную \(f'(x)\)
2
Решить уравнение \(f'(x) = 0\), найти стационарные точки
3
Отобрать стационарные точки, принадлежащие отрезку \([a;\, b]\)
4
Вычислить значения \(f(x)\) в стационарных точках и на концах отрезка
5
Из полученных значений выбрать наибольшее (или наименьшее)

На всей числовой прямой

Если функция определена на \((-\infty; +\infty)\) и имеет единственную критическую точку, которая является точкой минимума (максимума), то значение функции в этой точке есть наименьшее (наибольшее) значение функции на всей прямой.

Пример: \(f(x) = x^2 + 4x + 5\). Единственная критическая точка \(x = -2\) — точка минимума. \(f(-2) = 1\) — наименьшее значение функции.

Частые ошибки

  • Забывают про концы отрезка — наибольшее/наименьшее значение может достигаться на краях \([a; b]\), а не в стационарной точке!
  • Не проверяют знак производной — стационарная точка не обязательно является экстремумом.
  • Ошибки в производной сложной функции — забывают домножить на внутреннюю производную.
  • Потеря стационарных точек — при решении \(f'(x) = 0\) теряют корни.

Разбор типичных ошибок

Ошибка 1: Забыли про концы отрезка!

\(f(x) = x^3 - 3x\) на \([-2;\, 0]\)

\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = \pm 1\)

На \([-2;\, 0]\) попадает только \(x = -1\)

\(f(-1) = -1 + 3 = 2\)

СТОП! Нужно ещё проверить КОНЦЫ:

\(f(-2) = -8 + 6 = -2\)

\(f(0) = 0\)

Наибольшее = 2 (в точке \(x = -1\))

Без концов ответ тот же, но бывает что максимум -- на конце!

Ошибка 2: Неверная производная сложной функции

\(f(x) = e^{2x+1}\)

НЕПРАВИЛЬНО: \(f'(x) = e^{2x+1}\)

ПРАВИЛЬНО: \(f'(x) = 2 \cdot e^{2x+1}\) (цепное правило!)

Всегда домножай на производную внутренней функции: \((e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)\)

Ошибка 3: Знак не тот

\(f(x) = -x^2 + 4x\)

НЕПРАВИЛЬНО: \(f'(x) = 2x + 4\)

ПРАВИЛЬНО: \(f'(x) = -2x + 4\)

\(f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2\) -- это МАКСИМУМ

Коэффициент при \(x^2\) отрицательный -- парабола ветвями вниз, значит вершина -- максимум!

Интерактивные визуализации

Исследование функции и её производной

f(x) f'(x) Стационарные точки Наиб./наим. значение

Касательная к графику

Перемещайте ползунок, чтобы передвигать точку по графику. Касательная следует за точкой.

Пошаговая анимация алгоритма

Нажимайте «Следующий шаг», чтобы увидеть, как находится наибольшее значение функции \(f(x) = -x^3 + 3x^2\) на отрезке \([-1;\, 4]\).

Шаг 0 / 5

Банк заданий

25 задач с прогрессивными подсказками и пошаговыми решениями. Нажмите на задачу, введите ответ и проверьте себя.

Решено: 0 / 15

Тренажёры

Тренажёр: вычисление производных

Найдите производную указанной функции и введите ответ.

Правильно: 0 / 0

Тренажёр: наибольшее/наименьшее значение

Найдите наибольшее или наименьшее значение функции на указанном отрезке.

Правильно: 0 / 0

Режим экзамена

8 минут на каждую задачу, как на реальном ЕГЭ.

08:00

60-секундный спринт

Быстрые производные на скорость

У вас 60 секунд. Решайте как можно больше простых производных. Вводите ответ и нажимайте Enter.

60
Правильно: 0 Рекорд: 0

Шпаргалка

Таблица производных

\((x^n)' = nx^{n-1}\)
\((\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\((e^x)' = e^x\)
\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\)
\((\sin x)' = \cos x\)
\((\cos x)' = -\sin x\)
\((\mathrm{tg}\, x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\((\mathrm{ctg}\, x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\)
\((a^x)' = a^x \ln a\)
\((\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}\)

Правила

\((Cf)' = Cf'\)
\((f \pm g)' = f' \pm g'\)
\((fg)' = f'g + fg'\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\)
\((f(g))' = f'(g) \cdot g'\)

Алгоритм: наибольшее/наименьшее на \([a; b]\)

  1. Найти \(f'(x)\)
  2. Решить \(f'(x) = 0\)
  3. Отобрать корни из \([a; b]\)
  4. Вычислить \(f\) в найденных точках и на концах
  5. Выбрать наибольшее / наименьшее