Что нужно знать

• 1 балл, базовый уровень сложности
• Краткий числовой ответ (целое или десятичная дробь)
• Типы задач:
  • Найти первообразную функции
  • Вычислить определённый интеграл
  • Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
• Рекомендуемое время: 5-8 минут

Суть задания простым языком

Проще: первообразная -- это операция, обратная производной. Если производная = скорость, то первообразная = путь.

Ты уже умеешь находить производную (задание 12). Здесь всё наоборот: по производной нужно восстановить исходную функцию.

Знаешь, что производная \(x^3\) равна \(3x^2\)? Значит, первообразная \(3x^2\) равна \(x^3 + C\).

По сути, задание 11 -- это «задание 12 наоборот». Если в 12-м ты дифференцируешь (берёшь производную), то в 11-м -- интегрируешь (находишь первообразную).

Связь с другими заданиями

Задание 11 тесно связано с заданием 12 (Производная). Таблица первообразных -- это таблица производных, прочитанная в обратную сторону. Если хорошо знаешь производные, задание 11 решается быстро.

Что такое первообразная

Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на промежутке \(I\), если для всех \(x \in I\) выполняется:

Другими словами: производная первообразной равна исходной функции.

Общая первообразная (+C!)

Если \(F(x)\) -- первообразная для \(f(x)\), то любая функция вида \(F(x) + C\) (где \(C\) -- произвольная постоянная) тоже является первообразной.

Почему +C? Потому что производная константы \(C\) равна нулю: \((F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)\). Поэтому первообразных бесконечно много -- они отличаются только константой.

Проще

Ты знаешь производную -- нужно «вернуться назад» и найти исходную функцию. Как по скорости найти путь.

Но путь может начинаться из любой точки -- поэтому +C. Например, машина едет со скоростью 60 км/ч. За 2 часа проедет 120 км. Но где она была в начале? На километре 0? Или на километре 50? Вот эта начальная точка -- и есть константа \(C\).

Пример

Проверим: является ли \(F(x) = x^3 + 5\) первообразной для \(f(x) = 3x^2\)?

Да! Производная \(F(x)\) равна \(f(x)\), значит \(F(x)\) -- первообразная.

Мини-задача

Дано: \(F'(x) = 3x^2\). Какая \(F(x)\)?

Проверка: \((x^3 + C)' = 3x^2\). Верно!

А если дополнительно известно \(F(0) = 7\), то: \(0^3 + C = 7\), значит \(C = 7\), и \(F(x) = x^3 + 7\).

Основная таблица -- это ВСЯ теория задания!

Проще: таблица первообразных -- это таблица производных, прочитанная СПРАВА НАЛЕВО. Знаешь производную \(\sin x = \cos x\)? Значит, первообразная \(\cos x = \sin x\).

\(f(x)\)	\(F(x)\)	Комментарий
\(0\)	\(C\)	Первообразная нуля -- константа
\(1\)	\(x + C\)	Проверка: \((x + C)' = 1\)
\(a\) (const)	\(ax + C\)	Проверка: \((ax)' = a\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)	\(n \neq -1\). Степень +1, делим на новую степень
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln|x| + C\)	\(x \neq 0\). Это случай \(n = -1\) -- особый!
\(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\)	\(-\dfrac{1}{x} + C\)	Степень: \(-2 \to -2+1 = -1\), делим на \(-1\)
\(\sqrt{x} = x^{1/2}\)	\(\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\)	Степень: \(\frac{1}{2} \to \frac{3}{2}\), делим на \(\frac{3}{2}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\)	\(2\sqrt{x} + C\)	Степень: \(-\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}\), делим на \(\frac{1}{2}\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)	МИНУС! Проверка: \((-\cos x)' = \sin x\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)	Без минуса. Проверка: \((\sin x)' = \cos x\)
\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)	\(\mathrm{tg}\, x + C\)	Проверка: \((\mathrm{tg}\, x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\)
\(\dfrac{1}{\sin^2 x}\)	\(-\mathrm{ctg}\, x + C\)	МИНУС! Проверка: \((-\mathrm{ctg}\, x)' = \frac{1}{\sin^2 x}\)
\(e^x\)	\(e^x + C\)	Экспонента -- сама себе первообразная!
\(a^x\)	\(\dfrac{a^x}{\ln a} + C\)	Делим на \(\ln a\). В производной умножаем -- здесь делим.

Как запомнить формулу степени

Формула \(\int x^n\, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) -- самая важная. Алгоритм:

Пример: \(\int x^4\, dx\). Степень 4 → 5. Делим на 5: \(\dfrac{x^5}{5} + C\).

Пример: \(\int x^{-3}\, dx\). Степень \(-3 \to -2\). Делим на \(-2\): \(\dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2x^2} + C\).

Мини-задачи к таблице

1. Первообразная \(x^4\) = ?

2. Первообразная \(\dfrac{1}{x^3}\) = ?

3. Первообразная \(e^x\) = ?

4. Первообразная \(\sin x\) = ?

5. Первообразная \(2^x\) = ?

6. Первообразная \(\sqrt{x}\) = ?

Правило 1: Интеграл суммы = сумма интегралов

Проще: каждое слагаемое интегрируешь отдельно, потом складываешь.

Пример:

Проверка: \(\left(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right)' = x^2 + 3x\). Верно!

Правило 2: Константу выносим за знак интеграла

Проще: числовой множитель не мешает интегрированию, просто вынеси его перед знаком интеграла.

Пример:

Пример 2:

Правило 3: Линейная замена -- самое полезное!

Проще: если аргумент функции имеет вид \(kx + b\) (линейная функция от \(x\)), то первообразная находится как обычно по таблице, но потом нужно РАЗДЕЛИТЬ на коэффициент \(k\) при \(x\).

Почему? При дифференцировании по цепному правилу появляется множитель \(k\). При интегрировании его нужно «компенсировать» делением.

Мини-задачи на правило линейной замены

1. \(\int \cos(3x)\, dx = ?\)

Первообразная \(\cos\) = \(\sin\), делим на коэффициент \(k = 3\).

2. \(\int e^{2x+1}\, dx = ?\)

Первообразная \(e^{(...)}\) = \(e^{(...)}\), делим на коэффициент \(k = 2\).

3. \(\int (5x + 3)^4\, dx = ?\)

Степень \(4 \to 5\), делим на 5 (по формуле) и ещё на 5 (коэффициент при \(x\)).

4. \(\int \sin(2x - \pi)\, dx = ?\)

Первообразная \(\sin\) = \(-\cos\), делим на коэффициент \(k = 2\).

5. \(\int \frac{1}{(3x+1)^2}\, dx = ?\)

Определение

Неопределённый интеграл -- это совокупность ВСЕХ первообразных функции \(f(x)\):

где \(F(x)\) -- какая-либо первообразная \(f(x)\), а \(C\) -- произвольная постоянная.

Проще

Неопределённый интеграл -- это просто другая запись первообразной. Символ \(\int\) означает «найди первообразную».

\(dx\) в конце -- это обозначение переменной, по которой интегрируем. Пока что для нас это всегда \(x\).

Не забудь написать \(+ C\) в конце! На ЕГЭ в задании 11 ответ числовой, но +C важен в промежуточных вычислениях и в задачах, где требуется найти конкретную первообразную.

Свойства неопределённого интеграла

Если сначала проинтегрировать, а потом продифференцировать -- получим исходную функцию.

Если сначала продифференцировать, а потом проинтегрировать -- получим исходную функцию (с точностью до константы).

Проще: интегрирование и дифференцирование -- взаимно обратные операции, как сложение и вычитание.

Примеры

1. \(\int (4x^3 - 6x + 2)\, dx\)

2. \(\int \left(\frac{3}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx\)

Формула Ньютона-Лейбница

Это главная формула для вычисления определённого интеграла:

Где \(F(x)\) -- любая первообразная \(f(x)\), \(a\) -- нижний предел, \(b\) -- верхний предел.

Проще

Три простых шага:

\(+C\) не нужен: он сокращается при вычитании: \((F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)\).

Запись вычислений

Вертикальная черта с пределами \(\Big|_a^b\) означает «подставить верхний предел и вычесть нижний».

Мини-задача 1

\(\int_0^2 3x^2\, dx = ?\)

Первообразная \(3x^2\) равна \(x^3\). Подставили верхний предел 2, вычли нижний предел 0.

Мини-задача 2

\(\int_0^{\pi} \sin x\, dx = ?\)

Первообразная \(\sin x\) равна \(-\cos x\). Подставили \(\pi\) и \(0\), вычли. Будь внимателен со знаками!

Мини-задача 3

\(\int_1^e \frac{1}{x}\, dx = ?\)

Свойства определённого интеграла

• \(\int_a^a f(x)\, dx = 0\) -- пределы совпадают, интеграл равен нулю
• \(\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx\) -- при перестановке пределов знак меняется
• \(\int_a^b [f(x) + g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx\) -- интеграл суммы
• \(\int_a^b k \cdot f(x)\, dx = k \int_a^b f(x)\, dx\) -- константу выносим
• \(\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx\) -- аддитивность по отрезку

Полезный факт

Интеграл нечётной функции по симметричному отрезку \([-a, a]\) всегда равен 0:

Примеры нечётных функций: \(x\), \(x^3\), \(x^5\), \(\sin x\).

Например: \(\int_{-2}^{2} x^3\, dx = 0\). Не нужно считать!

Основная формула

Площадь фигуры, ограниченной графиком \(y = f(x)\), осью \(Ox\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\):

Три случая

Случай 1. Если \(f(x) \geq 0\) на \([a, b]\) (график НАД осью \(x\)):

Интеграл сразу даёт площадь, модуль не нужен.

Случай 2. Если \(f(x) \leq 0\) на \([a, b]\) (график ПОД осью \(x\)):

Интеграл будет отрицательным, а площадь всегда положительна -- берём модуль (ставим минус перед интегралом).

Случай 3. Площадь между двумя кривыми \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\):

Если на всём отрезке \(f(x) \geq g(x)\), то модуль можно убрать: \(S = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx\).

Проще

Площадь -- это определённый интеграл. Но если график ПОД осью \(x\), результат интеграла будет отрицательным. А площадь не может быть отрицательной! Поэтому берём модуль.

Совет: на ЕГЭ обычно дают задачи, где функция положительна на отрезке. Но на всякий случай проверяй знак!

Мини-задача 1

Площадь между \(y = x^2\) и осью \(Ox\) на \([0, 2]\):

Так как \(x^2 \geq 0\) на \([0, 2]\), модуль не нужен.

Мини-задача 2

Площадь между \(y = x\) и осью \(Ox\) на \([0, 4]\):

Это площадь прямоугольного треугольника с катетами 4 и 4: \(\frac{4 \cdot 4}{2} = 8\). Совпадает!

Подробнее по шагам

Пример полного решения

Задача: Вычислите \(\int_0^{\pi/2} \cos(2x)\, dx\).

Ответ: 0.

Тренажёр: вычисление первообразных и интегралов

20 случайных вопросов. Найдите первообразную или вычислите определённый интеграл.

Для неопределённых интегралов вводите ответ в формате: x^4/4+C, -cosx+C, sin(3x)/3+C.

Для определённых интегралов вводите числовой ответ.