Треугольники

Виды треугольников

По сторонам:

  • Равносторонний — все стороны равны, все углы по \(60°\)
  • Равнобедренный — две стороны равны, углы при основании равны
  • Разносторонний — все стороны различны
Равносторонний Равнобедренный Разносторонний

По углам:

  • Остроугольный — все углы острые (\(< 90°\))
  • Прямоугольный — один угол \(90°\)
  • Тупоугольный — один угол тупой (\(> 90°\))

Сумма углов треугольника

\[\alpha + \beta + \gamma = 180°\]

Сумма углов любого треугольника равна \(180°\). Это базовое свойство, которое используется почти в каждой задаче.

C A B α β γ α + β + γ = 180°
Пример: Если \(\alpha = 50°\), \(\beta = 70°\), то \(\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°\).

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Если \(\varphi\) — внешний угол при вершине \(C\), то \(\varphi = \alpha + \beta\).

α β φ = α + β A B C

Формулы площади треугольника

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\]

Площадь равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к ней.

a h C A B b c
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\]

Площадь через две стороны и угол между ними.

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Формула Герона, где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.

Медианы, высоты, биссектрисы

Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Медианы пересекаются в точке, делящей каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Высота — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне (или её продолжению).

Биссектриса — луч, делящий угол пополам. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\]
Медиана M B C A Высота h H B C A Биссектриса D B C A

Теорема синусов и косинусов

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

Теорема синусов (\(R\) — радиус описанной окружности).

O R A B C a c b a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора.

Как решать задание 1

Пошаговый алгоритм решения любой планиметрической задачи ЕГЭ:

1
Прочитай условие. Определи: это задача на углы, площади или длины?
2
Нарисуй рисунок по условию (обязательно!). Подпиши все известные данные.
3
Есть окружность? Вспомни: вписанный угол = \(\frac{1}{2}\) дуги, противоположные углы вписанного четырёхугольника = \(180°\).
4
Есть прямоугольный треугольник? Медиана к гипотенузе \(= \frac{c}{2}\), теорема Пифагора.
5
Есть трапеция? Средняя линия \(= \frac{a+b}{2}\), диагональ делит среднюю линию на \(\frac{a}{2}\) и \(\frac{b}{2}\).
6
Есть подобие? Отношение площадей \(= k^2\).
7
Ищи площадь? Выбери подходящую формулу из 5 основных (через основание и высоту, через стороны и угол, Герон, через диагонали, через радиус).
8
Запиши ответ -- ЧИСЛО (целое или десятичная дробь). Проверь: ответ разумный?

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1 Забывают, что медиана к гипотенузе = c/2

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Треугольник \(BCM\) -- равнобедренный!

M A C B AM = CM = BM = CB/2
Ошибка 2 Путают вписанный и центральный угол

Вписанный угол всегда в 2 раза МЕНЬШЕ центрального, опирающегося на ту же дугу. Не наоборот!

O A B P 2a a Вписанный = 1/2 центрального (НЕ наоборот!)
Ошибка 3 Неправильное деление площади параллелограмма

Если \(E\) -- середина \(AD\), то \(S(BCDE) = \frac{3}{4} \cdot S(ABCD)\), а НЕ \(\frac{1}{2}\)! Типичная ловушка ЕГЭ.

E A B C D S = 1/4 S = 3/4 S(BCDE) = 3/4 * S(ABCD), а НЕ 1/2!

Запомни для ЕГЭ!

1
Сумма углов треугольника = \(180°\)
2
Вписанный угол = \(\frac{1}{2}\) центрального
3
Медиана к гипотенузе = \(\frac{c}{2}\)
4
Средняя линия трапеции = \(\frac{a+b}{2}\)
5
Отношение площадей подобных фигур = \(k^2\)
6
В вписанном четырёхугольнике: \(\alpha + \gamma = 180°\)

Стратегия на экзамене

1
ВСЕГДА рисуй рисунок! Задание 1 -- геометрия, без рисунка легко допустить ошибку. Нарисуй фигуру и подпиши все данные из условия.
2
Типичное время: 2-3 минуты. Задание 1 оценивается в 1 балл. Не трать на него больше 3-4 минут.
3
Не получается за 3 минуты -- пропусти. Отметь задачу и вернись к ней позже. Не застревай на первом задании!
4
Проверяй ответ подстановкой. Подставь найденное значение обратно в условие -- всё должно сходиться.
5
Ответ -- всегда ЧИСЛО. Целое число или конечная десятичная дробь. Если у тебя получилась бесконечная дробь -- скорее всего, ошибка.
6
Частые ловушки: не путай вписанный и центральный углы (вписанный = 1/2 центрального, НЕ наоборот); медиана к гипотенузе = c/2; средняя линия трапеции = (a+b)/2.

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

A C B a b c c² = a² + b²

Соотношения в прямоугольном треугольнике

\[\sin A = \frac{a}{c}, \quad \cos A = \frac{b}{c}, \quad \tan A = \frac{a}{b}\]

Где \(a\) — катет, противолежащий углу \(A\), \(b\) — прилежащий катет, \(c\) — гипотенуза.

Катет, лежащий против угла \(30°\), равен половине гипотенузы.

A A B C a (противол.) b (прилеж.) c (гипотенуза)

Медиана к гипотенузе

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. \[CM = \frac{AB}{2}\]

Это ключевое свойство! Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

M (центр) A B C CM CM = AM = BM = AB/2 = R
Следствие: Треугольник \(ACM\) — равнобедренный (\(CM = AM\)), значит \(\angle MCA = \angle MAC = \angle A\). Аналогично, \(\angle MCB = \angle MBC = \angle B\).

Высота из вершины прямого угла

Высота \(CH\), проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе: \[CH^2 = AH \cdot HB\] \[AC^2 = AH \cdot AB, \quad BC^2 = BH \cdot AB\]

Высота из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному.

A B C H AH HB CH CH² = AH · HB
Угол между медианой и высотой из вершины \(C\):
Пусть \(\angle B = \beta\). Тогда \(\angle MCB = \beta\) (так как \(CM = MB\), треугольник \(BCM\) равнобедренный).
Высота \(CH\) образует с \(CB\) угол \(\angle HCB = 90° - \beta\).
Поэтому \(\angle HCM = \angle MCB - \angle HCB = \beta - (90° - \beta) = 2\beta - 90°\).
Если \(\beta < 45°\), то высота и медиана меняются местами и \(\angle HCM = 90° - 2\beta\).

Площадь прямоугольного треугольника

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Половина произведения катетов.

Четырёхугольники

Параллелограмм

Свойства:

  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Противоположные углы равны
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам
  • Сумма соседних углов \(= 180°\)
\[S = a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha\]
\[S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \varphi\]

где \(\varphi\) — угол между диагоналями.

O h A B C D a a b b α
Важно для ЕГЭ: Точка на стороне \(AD\) (или диагональ) делит параллелограмм на части с определённым отношением площадей. Если \(E\) — середина \(AD\), то трапеция \(BCDE\) имеет площадь \(\frac{3}{4}\) от площади параллелограмма.

Трапеция

Определение: Четырёхугольник с одной парой параллельных сторон (оснований \(a\) и \(b\)).

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

Средняя линия трапеции:

\[m = \frac{a + b}{2}\]

Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

h A B C D b a m a/2 b/2
Диагональ делит среднюю линию на два отрезка:
Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований: \(\frac{a}{2}\) и \(\frac{b}{2}\).
Пример: Основания 4 и 10. Средняя линия = 7. Диагональ делит её на \(\frac{4}{2} = 2\) и \(\frac{10}{2} = 5\). Больший отрезок = \(5\).

Прямоугольник

Параллелограмм с прямыми углами. Диагонали равны.

\[S = a \cdot b, \quad d = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Ромб

Параллелограмм с равными сторонами. Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

\[S = a^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2\]
O A D C B d₁ d₂ a d₁ ⊥ d₂

Окружность

Центральный и вписанный углы

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. \[\angle_{\text{впис}} = \frac{1}{2} \angle_{\text{центр}} = \frac{1}{2} \smile AB\]

Следствия:

  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90°\)
  • Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой
O A B P 2α α Вписанный угол = ½ центрального угла

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна \(180°\). \[\angle A + \angle C = 180°, \quad \angle B + \angle D = 180°\]
A B C D α γ α + γ = 180°
Типовая задача ЕГЭ: Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. \(\angle ABC = 103°\), \(\angle CAD = 42°\). Найти \(\angle ABD\).

Решение:
Вписанные углы \(\angle CBD\) и \(\angle CAD\) опираются на одну дугу \(CD\), значит \(\angle CBD = \angle CAD = 42°\).
\(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 103° - 42° = 61°\).
Ответ: 61

Касательная к окружности

  • Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания
  • Отрезки касательных из одной точки равны
  • Угол между касательной и хордой равен половине стягиваемой дуги
O T R касательная OT ⊥ касательная

Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: \[AB + CD = BC + AD\]

Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность

Окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Центр вписанной окружности -- точка пересечения биссектрис.

\[r = \frac{S}{p}\]

Где \(r\) -- радиус вписанной окружности, \(S\) -- площадь треугольника, \(p\) -- полупериметр.

I r A B C r = S / p (S -- площадь, p -- полупериметр)

Описанная окружность

Окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Центр описанной окружности -- точка пересечения серединных перпендикуляров.

\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{a}{2\sin A}\]

Формула \(R = \frac{a}{2\sin A}\) следует из теоремы синусов.

O R A B C a c b R = abc / (4S) = a / (2 sin A)
Важно для прямоугольного треугольника: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника -- это середина гипотенузы! Радиус описанной окружности \(R = \frac{c}{2}\), где \(c\) -- гипотенуза.

Подобие треугольников

Признаки подобия

  1. По двум углам (AA): Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  2. По двум сторонам и углу (SAS): Если две стороны пропорциональны и углы между ними равны.
  3. По трём сторонам (SSS): Если все три стороны пропорциональны.

Коэффициент подобия

Если коэффициент подобия равен \(k\), то:

\[\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k\] \[\frac{S'}{S} = k^2\]

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Пример: Стороны одного треугольника в 3 раза больше сторон другого. Тогда его площадь в \(3^2 = 9\) раз больше.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. \[MN = \frac{1}{2} BC\]

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом \(\frac{1}{2}\). Площадь отсечённого треугольника — \(\frac{1}{4}\) площади исходного.

MN BC MN ∥ BC MN = BC/2 A B C M N

Площади фигур

Все формулы площади

Треугольник

\[S = \frac{1}{2}ah \quad S = \frac{1}{2}ab\sin C \quad S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
\[S = \frac{abc}{4R} \quad S = pr\]

где \(R\) — радиус описанной, \(r\) — радиус вписанной окружности, \(p\) — полупериметр.

h a S = ½ a h

Параллелограмм

\[S = ah = ab\sin\alpha = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi\]
h a S = a · h

Прямоугольник

\[S = ab\]

Ромб

\[S = a^2\sin\alpha = \frac{1}{2}d_1 d_2\]

Трапеция

\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h\]
h a b S = (a+b)/2 · h

Круг, сектор

\[S_{\text{круг}} = \pi R^2 \quad S_{\text{сект}} = \frac{\alpha}{360°} \pi R^2\]

Интерактивный треугольник

Перетаскивайте вершины треугольника мышью. Все параметры пересчитываются автоматически.

Сторона a (BC): —
Сторона b (AC): —
Сторона c (AB): —
Угол A: —
Угол B: —
Угол C: —
Площадь: —
Периметр: —

Вписанные и центральные углы

Перемещайте точки на окружности, чтобы наблюдать соотношение вписанного и центрального углов.

Дуга AB: —
Центральный угол AOB: —
Вписанный угол APB: —
Отношение: —

Трапеция: средняя линия и диагонали

Перемещайте вершины трапеции. Показаны средняя линия и точка пересечения диагонали со средней линией.

Основание a (верх): —
Основание b (низ): —
Средняя линия: —
Отрезок 1 (a/2): —
Отрезок 2 (b/2): —
Площадь: —

Банк заданий

25 задач в формате ЕГЭ с пошаговыми решениями. Нажмите «Показать решение», чтобы увидеть подробный разбор.

Решено верно: 0 из 25

Тренажёр формул площади

Определите правильную формулу площади для данной фигуры.

Правильно: 0 / 0

Тренажёр свойств углов

Определите неизвестный угол по заданным данным.

Правильно: 0 / 0

°

Быстрый счёт

Решай простые задачи на скорость! 60 секунд -- максимум правильных ответов. Тренирует автоматизм вычислений для экзамена.

Правильно: 0 / 0

Режим экзамена

5 задач на время. Таймер отсчитывает 15 минут (по 3 минуты на задачу).

15:00
Задача 0 / 5

Шпаргалка — все формулы

Треугольник

\(\alpha + \beta + \gamma = 180°\)

\(S = \frac{1}{2}ah\)

\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)

\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

\(S = pr\)

\(S = \frac{abc}{4R}\)

Прямоугольный треугольник

\(c^2 = a^2 + b^2\)

\(S = \frac{1}{2}ab\)

Медиана к гипотенузе \(= \frac{c}{2}\)

\(CH^2 = AH \cdot HB\)

\(AC^2 = AH \cdot AB\)

Катет против \(30° = \frac{c}{2}\)

Параллелограмм

\(S = ah = ab\sin\alpha\)

\(S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi\)

Сумма соседних \(\angle = 180°\)

Диагонали делятся пополам

Ромб

\(S = a^2\sin\alpha\)

\(S = \frac{1}{2}d_1 d_2\)

Диагонали \(\perp\)

Диагонали — биссектрисы

Трапеция

\(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\)

Средняя линия \(= \frac{a+b}{2}\)

Диагональ делит ср. линию на \(\frac{a}{2}\) и \(\frac{b}{2}\)

Окружность

\(S = \pi R^2\), \(C = 2\pi R\)

Впис. угол \(= \frac{1}{2}\) центр. угла

Впис. угол на диаметр \(= 90°\)

Впис. четырёхуг.: \(\angle A + \angle C = 180°\)

Опис. четырёхуг.: \(a+c = b+d\)

Касательная \(\perp\) радиус

Подобие

Признаки: AA, SAS, SSS

Коэфф. подобия \(k\): стороны \(\times k\)

Площади \(\times k^2\)

Ср. линия \(\triangle = \frac{1}{2}\) основания

Синусы и косинусы

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R\)

\(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C\)

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)